Bitte alles noch einmal nachrechnen !


Aufgabe 1: Die Richtung der Lorentzkraft

Ein metallischer Leiter wird wie in der Abbildung dargestellt senkrecht zu den Feldlinien (grün) eines in die Zeichenebene hinein gerichteten Magnetfeldes bewegt.

Aufgabe a): Trage die Kraftrichtung auf die negativen und auf die positiven Ladungsträger im Leiter ein.

Auf die Ladungsträger wirkt die Lorentzkraft:

\[ \vec{F_L} = q \cdot \left( \vec{v} \times \vec{B} \right) \] Hier sind:

Für die Richtung der Kraft sind das Kreuzprodukt \(\vec{v} \times \vec{B}\) und das Vorzeichen der Ladung \(q\) entscheidend. Die Richtung des Kreuzproduktes kann mit der Rechten-Hand-Regel ermittelt werden:

Source: https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt

Source: https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt

Für den im Bild gezeigten Fall heißt das:

Für eine metallischen Leiter sind die frei beweglichen, negativ geladenen Elektronen Träger des elektrischen Stromes (\(q\) negativ). Für diese dreht sich die Richtung von \(\vec{F_L}\) um. Die Elektronen fließen daher nach rechts.

Aufgabe b): Gib an, welches Leiterende positiv und welches negativ geladen wird.

Die Elektronen fließen daher nach rechts, eventuell vorhandene positive Ladungsträger fließen nach links. Die rechte Seite wird negativ, die linke Seite wird positiv.

So funktioniert übrigens ein Generator. Ein Leiter (Spule) wird (z. B. mittels einer Dampfturbine) durch ein Magnetfeld bewegt und schon fließt ein Strom.

Aufgabe 2: Lorentzkraft für zwei stromdurchflossene Leiter

Vielleicht sollte man diese Aufgabe zum Schluss machen … wenn überhaupt.

Zwei lange, parallele Leiter werden gleichsinnig vom Strom durchflossen.

Aufgabe a):

Begründe mit Hilfe einer klaren, aussagekräftigen Skizze, ob sich die beiden Leiter anziehen oder abstoßen.

Physikalischer Sachverhalt:
Wir gehen von einem der beiden Leiter aus, z. B. vom oberen. Der Stromfluss in diesem Leiter erzeugt eine Magnetfeld \(\vec{B}\), dass sich ringförmig um den oberen Leiter windet. Dadurch befindet sich der untere Leiter im Magnetfeld des oberen. Auf die im unteren Leiter fließenden Ladungsträger wirkt daher eine Lorentzkraft. Dadurch wird der Leiter bewegt.

Richtung des Magnetfeldes:
Wir müssen die Richtung des Magnetfeldes ermitteln, um dann die Richtung der Lorentzkraft zu finden. Die Richtung des Magnetfeldes kann mit Hilfe der Korkenzieherregel ermittelt werden:

Source: Wikipedia

Source: Wikipedia


Gehen wir zunächst vom Magnetfeld des oberen Leiters aus:

Magnetfeld des oberen Leiters

Magnetfeld des oberen Leiters

Die Korkenzieherregel ergibt, dass die Magnetfeldlinien am Ort des unteren Leiters in die Papierebene hinein gehen (Abb.). Wir wenden nun die Rechte-Hand-Regel wie in Aufgabe 1 an. Betrachten wir die Elektronen. Diese bewegen sich nach links. Wir richten also den Daumen nach links, während der Zeigenfinger in die Papierebene hinein zeigt (\(\vec{B}\)-Feld). Das Kreuzprodukt \(\vec{v} \times \vec{B}\), zeigt also nach unten. Da die Elektronen jedoch negativ geladen sind (\(q\) negativ) zeigt die Lorentzkraft auf die Elektronen im unteren Leiter nach oben.


Gehen wir nun vom Magnetfeld des unteren Leiters aus:

Magnetfeld des unteren Leiters

Magnetfeld des unteren Leiters

Die Korkenzieherregel ergibt, dass die Magnetfeldlinien am Ort des oberen Leiters aus der Papierebene heraus kommen (Abb.). Wir wenden nun wieder die Rechte-Hand-Regel wie in Aufgabe 1 an. Betrachten wir wieder die Elektronen. Diese bewegen sich nach links. Wir richten also den Daumen nach links, während der Zeigenfinger aus der Papierebene heraus zeigt (\(\vec{B}\)-Feld). (Das ist anatomisch etwas schwer …). Das Kreuzprodukt \(\vec{v} \times \vec{B}\) zeigt also nach oben. Da die Elektronen jedoch negativ geladen sind (\(q\) negativ), zeigt die Lorentzkraft auf die Elektronen im oberen Leiter nach unten.

Fazit: Die Lorentzkraft auf die Elektronen im unteren Leiter zeigt nach oben, die Lorentzkraft auf die Elektronen im oberen Leiter zeigt nach unten. Wenn die Ströme durch die beiden Leiter in die gleiche Richtung fließen, dann ziehen sich die Leiter an.

Aufgabe b): Nun fließt der Strom gegensinnig durch die beiden Leiter. Erläutere, welche Auswirkungen dies hat.

Mit Hilfe der analogen Argumentation kommt man zum Schluss, dass sich nun die Leiter anziehen.


Aufgabe 3: LC-Schwingkreis

Der Schwingkreis besteht aus einer Serienschaltung von Induktivität \(L\) und Kapazität \(C\).
Ein LC-Schwingkreis funktioniert durch die ständige Umwandlung von Energie zwischen dem elektrischen Feld des Kondensators und dem magnetischen Feld der Spule. Diese Umwandlung erzeugt elektrische Schwingungen mit einer bestimmten Resonanzfrequenz, die durch die Induktivität und Kapazität des Kreises bestimmt wird. Realistisch betrachtet führt der Widerstand im Schaltkreis zu Energieverlusten, die die Amplitude der Schwingungen allmählich reduzieren.

Zum Zeitpunkt 1 ist das Magnetfeld der Spule maximal und das elektrische Feld des Kondensators minimal:

Zum Zeitpunkt 2 ist das Magnetfeld der Spule minimal und das elektrische Feld des Kondensators maximal:

Die Wirkungsweise des Schwingkreises wurde in Aufgabe 4 der Probeklausur 1 genauer beschrieben.


Aufgabe 4: Photoelektrischer Effekt

Aufgabe: Erläutere mit Hilfe eines Schemas den Photoelektrischen Effekt.

Ein Photon trifft auf ein Material und wird von einem Elektron in dem Material absorbiert.

Source: https://de.wikipedia.org/wiki/Photoelektrischer_Effekt

Source: https://de.wikipedia.org/wiki/Photoelektrischer_Effekt


Die Energie des Photons \(h \cdot \nu\) dient einerseits dazu, die Austrittsarbeit \(W_A\) des Elektrons zu verrichten. Die dann noch verbleibende Energie wird vom Elektron als kinetische Energie mitgenommen. Die Energiebilanz lautet also:

\[ h \cdot \nu = W_A + \frac{m_e}{2} \cdot v_e^2 \]

Hier sind:

Mehr zum Photoelektrischen Effekt in Aufgabe 4 von Übung 8.



Aufgabe 5: Brennweite einer Linse

Aufgabe: Erkläre mit Hilfe einer Skizze, was man unter der Brennweite einer Linse versteht.

Die Brennweite eines optischen Systems, bestehend aus einer oder mehreren Linsen oder gewölbten Spiegeln, ist der Abstand zwischen der bildseitigen Hauptebene des Systems und seinem Fokus (Brennpunkt), siehe Wikipedia.

Brennweite einer Sammellinse

Brennweite einer Sammellinse


Brennweite einer Zerstreuungslinse

Brennweite einer Zerstreuungslinse


Brennweite eines Parabolspiegels

Brennweite eines Parabolspiegels


Aufgabe 6: Kondensator: Feldstärke, Kapazität, Ladung

Zwei Kondensatorplatten mit einer Fläche von jeweils \(A = 0.25 \; m^2\) stehen sich im Abstand von \(l = 0.2 \; mm\) gegenüber. An die Platten wird eine Spannung von \(U = 220 \; V\) gelegt.

Aufgabe a): Berechne den Betrag der elektrischen Feldstärke zwischen den Platten.

Die elektrische Feldstärke ist:

\[ E = \frac{U}{d} = \frac{220 \; V}{2 \cdot 10^{-4} \; m} = 1.1 \cdot 10^6 \; V/m \]

Aufgabe b): Berechne den Betrag der Ladungsmenge auf jeder Platte.

Man kann nun zunächst die Kapazität des Plattenkondensators berechnen:

\[ C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot \frac{A}{d} = 8.854 \cdot 10^{-12} \cdot 1 \cdot \frac{0.25}{2 \cdot 10^{-4}} \;F = 1.1 \cdot 10^{-8} \;F \]

Hier sind:

Einheiten:

Nun kann die Ladung \(Q\) auf den Kondensatorplatten berechnet werden:

\[ Q = C \cdot U = 1.1 \cdot 10^{-8} \cdot 220 \; C = 2.42 \cdot 10^{-6} \; C \]


Aufgabe c): Nun werden zuerst die Platten von der Spannungsquelle getrennt, wobei die Ladung auf den Platten verbleibt. Dann wird der Plattenabstand auf \(l = 0.4 \; mm\) vergrößert und die Spannung zwischen den beiden Platten gemessen. Wie ändert sich die Spannung beim neuen Plattenabstand ?

Wenn der Plattenabstand geändert wird, ändert sich die Kapazität:

\[ C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot \frac{A}{d} = 8.854 \cdot 10^{-12} \cdot 1 \cdot \frac{0.25}{4 \cdot 10^{-4}} \;F = 5.5 \cdot 10^{-9} \;F \]

Die Spannung ist nun:

\[ U = \frac{Q}{C} = \frac{2.42 \cdot 10^{-6} \; C}{ 5.5 \cdot 10^{-9} \;F} = 440 \; V \]

Die Spannung beträgt nun 440 Volt (Verdopplung).


Aufgabe 7: Ersatzwiderstand

Das Schaltbild muss schrittweise reduziert werden:

1): Die Widerstände \(R_2\) und \(R_3\) sind in Reihe geschaltet. Wir können diese durch einen Ersatzwiderstand \(R_4\) ersetzen:

\[ R_4 = R_2 + R_3 \]

2): Die Widerstände \(R_1\) und \(R_4\) sind nun parallel geschaltet. Wir können diese durch einen Ersatzwiderstand \(R_5\) ersetzen:

\[ \frac{1}{R_5} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_4} \]

Wir erhalten somit das Ersatzschaltbild. Der Gesamtwiderstand beträgt \(187.5 \; \Omega\).


Aufgabe 8: Batterie: Energie, Strom, Widerstand

Ein e-Rad hat einen Lithium-Ionen-Akku, welcher eine Spannung von \(U = 36 \; V\) bei einer Akku-Kapazität von \(Q = 8 \; Ah\) liefert. (Achtung: mit Akku-Kapazität ist hier die Ladungsmenge gemeint, die der Akku aufnehmen kann, \(1 \; Ah = 3600 \; As = 3.6 \cdot 10^3 \; C\))


Aufgabe a): Berechne die maximale elektrische Energie, die zur Unterstützung des Fahrers zur Verfügung steht.

Die maximale elektrische Energie ist

\[ W = Q \cdot U \] Hier sind:

Wir setzen die Werte ein:

\[ W = Q \cdot U = 8 \; Ah \cdot 36 \; V = 288 \; VAh = 288 \; Wh = 288 \; W \cdot 3600 \; s = 1.04 \cdot 10^6 Ws = 1.04 \cdot 10^6 \; J \] Einheiten: \(VA = W\), \(h = 3600 \; s\), \(Ws = J\)


Aufgabe b): In der höchsten Unterstützungsstufe des Elektromotors kann mit dem vollständig geladenen Akku genau 40 Minuten in der Ebene gefahren werden. Berechne den Strom \(I\) durch die Wicklungen des Elektromotors und schätze den Gesamtwiderstand \(R\) des Antriebes ab.

Strom ist Ladung pro Zeit. Wenn wir konstanten Stromfluss annehmen, berechnet sich der Strom also zu:

\[ I = \frac{Q}{t} = \frac{8 \; Ah}{2/3 \; h} = 12 \; A \]

Der Widerstand berechnet sich zu:

\[ R = \frac{U}{I} = \frac{36 \; V}{12 \; A} = 3 \; \Omega \] Einheiten: Widerstand in Ohm, \(\Omega = V/A\)


Aufgabe 9: Beschleunigung von Elektronen und de-Broglie-Wellenlänge

Aufgabe a): Welche Geschwindigkeit haben Elektronen, wenn Sie eine Beschleunigungsspannung von \(U_b = 2.5 \; kV\) durchlaufen haben?

Beim Durchlaufen einer Potentialdifferenz gewinnt ein geladenes Teilchen die Energie:

\[ \Delta W = q \cdot U \]

Hier sind:

Diese Energie ist gleich dem Zuwachs an kinetischer Energie. Wir können daher schreiben (für ein Elektron ist \(q = e\)):

\[ e \cdot U_b = \frac{m_e}{2} \cdot v_e^2 \]

Hier sind:

Wir lösen nach \(v_e\) auf:

\[ v_e = \sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot U_b}{m_e}} = \sqrt{ \frac{2 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \cdot 2.5 \cdot 10^3}{9.11 \cdot 10^{-31}}} \; m/s \approx 3 \cdot 10^7 \; m/s \]

Einheiten: \(As \cdot V/kg = VAs/kg = Ws/kg = Nm/kg = kg \cdot m /s^2 \cdot m /kg = m^2/s^2\) (daraus die Wurzel)


Aufgabe b): Welche de-Broglie-Wellenlänge weisen die Elektronen dann auf? Vergleiche die de-Broglie-Wellenlänge mit den Dimensionen eines typischen Atoms.

Die de-Broglie-Wellenlänge \(\lambda_{e}\) von Teilchen hängt vom Impuls \(p_e\) des Teilchens ab, und damit von der Geschwindigkeit \(v_e\). Wir haben also:

\[ \lambda_{e} = \frac{h}{p_e} = \frac{h}{m_e \cdot v_e} = \frac{6.626 \cdot 10^{-34}}{9.11 \cdot 10^{-31} \cdot 3 \cdot 10^7} \cdot \frac{Js}{kg \cdot m/s} = 2.42 \cdot 10^{-11} \; m = 0.0242 \; nm \]

Hier sind:

Einheiten: \(J = Nm = kg \cdot m^2/s^2\), daher Ergebnis in Meter

Die de-Broglie-Wellenlänge eines mit \(U_b = 2.5 \; kV\) beschleunigten Elektrons beträgt \(0.0242 \; nm\).

Typische Dimensionen eines Atoms sind (Wikipedia):

Die de-Broglie-Wellenlänge der mit \(U_b = 2.5 \; kV\) beschleunigten Elektronen ist also noch kleiner als die Dimensionen dieser Atome.


Aufgabe 10: Radioaktiver Zerfall

In einem Labor befinden sich \(m = 1.49 \; \mu g\) von radioaktivem \(^{13}_{\;7}N\) mit einer Halbwertszeit von \(T = 10 \; min\).

Aufgabe a): Wie viele Kerne sind anfangs vorhanden?

Die Masse eines Kerns ist ungefähr gleich der Massenzahl, also der Anzahl von Protonen und Neutronen, multipliziert mit der Atomaren Masseneinheit. Daher wiegt ein Kern von \(^{13}_{\;7}N\):

\[ m_{N} = 13 \cdot u = 13 \cdot 1.66 \cdot 10^{-27} \; kg = 2.16 \cdot 10^{-26} \; kg \] (Die Atomare Masseneinheit beträgt \(u = 1.66 \cdot 10^{-27} kg\).)

Die Anzahl der Kerne \(N_{N}\) in einem \(1.49 \; \mu g\) des Präparates ist daher:

\[ N_{N} = \frac{1.49 \cdot 10^{-9} \; kg}{2.16 \cdot 10^{-26} \; kg} = 6.9 \cdot10^{16} \]

Zur Zeit \(t=0\) sind also rund \(6.9 \cdot10^{16}\) Kerne vorhanden.

Bemerkung: Die Masse der Elektronen kann vernachlässigt werden.

Aufgabe b): Wie groß ist Zerfallskonstante?

Zwischen der Zerfallskonstante und der Halbwertszeit \(T\) besteht die Beziehung:

\[ \lambda = \frac{\ln{(2)}}{T} \]

(Dieser Zusammanhang wurde im Anhang von Übung 12 hergeleitet.)

Wir brauchen bloß einsetzen:

\[ \lambda = \frac{\ln{(2)}}{T} = \frac{\ln{(2)}}{600 \; s} = 1.15 \cdot 10^{-3} \; s^{-1} \]

Aufgabe c): Wie viele Kerne sind nach der Zeit \(t = 1 \; h\) noch vorhanden?

Die Anzahl der Kerne \(N(t)\) zur Zeit \(t\) berechnet sich wie folgt:

\[ N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t} \]

Hier sind:

Wir nutzen die Ergebnisse der vorhergehenden Teilaufgaben und setzen ein (\(t\) in Sekunden einsetzen):

\[ N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t} = 6.9 \cdot10^{16} \cdot e^{-1.15 \cdot 10^{-3} \cdot 3600} \approx 1.1 \cdot 10^{15} \] Nach einer Stunde sind noch rund \(1.1 \cdot 10^{15}\) Kerne vorhanden.


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