Bitte alles noch einmal nachrechnen !


Aufgabe 1: Coulombsches Gesetz

Es wäre ungünstig, mit dieser Aufgabe anzufangen!

Zwei Ladungen \(Q_1 = 0.1 \; \mu C\) und \(Q_2 = 0.2 \; \mu C\) an den Orten \(r_1 =(0 \;\; 1)^T \; mm\) und \(r_2 =(0 \;\; 0)^T \; mm\) üben auf eine dritte Ladung \(q = 0.05 \; \mu C\) am Ort \(r_q =(1 \;\; 1)^T \; mm\) eine Kraft aus.

Bemerkung: Das Superscript \((\dots)^T\) bei den obigen Vektoren soll “transponiert” heißen, es soll sich also eigentlich um Spaltenvektoren handeln.

Aufgabe a): Berechne die Kraft zwischen \(Q_1\) und \(Q_2\), wobei \(q\) zunächst ignoriert werden soll.

Wir berechnen zunächst nur den Betrag der Coulombkraft \(\| F_C \|\):

\[ \| F_C \| = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{r^2} \]

Hier sind:

Einheiten:

Wir setzen die Werte ein:

\[ \|F_C \|= \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2 }{r^2} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot 8.854 \cdot 10^{-12}} \cdot \frac{10^{-7} \cdot 2 \cdot 10^{-7}}{10^{-6}} \; N = 180 \; N \]

Einheiten:

\[ \frac{Vm}{As} \cdot \frac{(As)^2}{m^2} = VAs/m = Ws/m = Nm/m = N \] Bemerkung: \(VA = W\) und \(Ws = Nm\)

Bemerkung: Die Kraft \(180 \; N\) erscheint zunächst sehr groß in Anbetracht der winzigen Ladungen. Allerdings ist dafür der Abstand sehr klein. Wenn der Abstand gegen Null geht, geht die Kraft gegen \(\infty\).


Wenn die Coulombkraft als Vektor geschrieben werden soll, muss der Betrag mit einem Richtungsvektor \(\vec{r}_{12}\) multipliziert werden, welcher den Betrag Eins haben muss. Die Coulumbkraft geht hier in Richtung \((0 \; \;1)^T\) (und umgekehrt, 3. Newtonsches Axiom), so dass wir einfach multiplizieren:

\[ \vec{F}_{12} = \| F_c \| \cdot \;\vec{r}_{12} = 180 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \; N \]

Bemerkung: Der Vektor \((0 \; \; 1)^T\) ist ein Einheitsvektor, denn die Länge beträgt \(\sqrt{0^1 + 1^1} = 1\).


Aufgabe b): Welche Kraft wirken \(Q_1\) und \(Q_2\) auf die Probeladung \(q\) aus? (Die Rückwirkung von \(q\) auf \(Q_1\) und \(Q_2\) wird vernachlässigt.)

Die Kräfte überlagern sich (Superposition), müssen also (vektoriell) addiert werden. Wir schreiben wieder jeden Vektor als Produkt von Betrag und Richtung:

\[ \begin{align*} \vec{F}_q &= \vec{F}_{Q_1} + \vec{F}_{Q_2} \\[6pt] &= \| \vec{F}_{Q_1} \| \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \| \vec{F}_{Q_2} \| \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \hspace{0.5cm} \Bigg| \hspace{0.5cm} \text{Einheitsvektoren!} \\[6pt] &= \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \frac{q \cdot Q_1}{r_{1q}^2} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \frac{q \cdot Q_2}{r_{2q}^2} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \hspace{0.5cm} \Bigg| \hspace{0.5cm} \text{Ausklammern!} \\[6pt] &= \frac{q}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \Bigg[ \frac{Q_1}{r_{1q}^2} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \frac{Q_2}{r_{2q}^2} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \Bigg] \\[6pt] &= \frac{5 \cdot 10^{-8}}{4 \cdot \pi \cdot 8.854 \cdot 10^{-12}} \cdot \Bigg[ \frac{10^{-7}}{\left(10^{-3}\right)^2} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \frac{2 \cdot 10^{-7}}{\left( \sqrt{2} \cdot 10^{-3}\right)^2} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \Bigg] \\[6pt] &= \frac{5 \cdot 10^{-8}}{4 \cdot \pi \cdot 8.854 \cdot 10^{-12}} \cdot \Bigg[ \frac{10^{-7}}{10^{-6}} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \frac{2 \cdot 10^{-7}}{2 \cdot 10^{-6}} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \Bigg] \\[6pt] &= 4.5 \cdot 10^2 \cdot \Bigg[ 0.1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 0.1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \Bigg] \\[6pt] &= 4.5 \cdot 10^2 \cdot \Bigg[ \begin{pmatrix} 0.1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0.1 / \sqrt{2} \\ 0.1 / \sqrt{2} \end{pmatrix} \Bigg] \\[6pt] &= 4.5 \cdot 10^2 \cdot \begin{pmatrix} 0.171 \\ 0.071 \end{pmatrix} \; N \\[6pt] &= \begin{pmatrix} 77 \\ 32 \end{pmatrix} \; N \end{align*} \]

Bemerkungen:

Berechnen wir noch kurz den Betrag der Kraft auf \(q\):

\[ \| \vec{F}_q \| = \sqrt{77^2 + 32^2} \; N \approx 83.4 \; N \] Das ist in der Größenordnung der in Teil a) berechneten Kraft.


Aufgabe 2: Dipolmomente von Molekülen

Aufgabe a): Welches der dargestellten Moleküle hat ein permanentes Dipolmoment ?



Atome streben nach einer vollen Valenzschale (oft 8 Elektronen, bekannt als die Oktettregel) für maximale Stabilität. Elemente mit fast vollständigen Valenzschalen haben eine hohe Elektronegativität, weil sie nur wenige Elektronen benötigen, um diese Stabilität zu erreichen. Sie neigen dazu, Elektronen stark anzuziehen.
Wenn ein Atom die Elektronen stärker anzieht, wird die Elektronenwolke in der Bindung zu diesem Atom verschoben. Dies führt zu einer partiellen negativen Ladung auf diesem Atom und einer partiellen positiven Ladung auf dem anderen Atom. Konkrete Werte für die Elektronegativität kann man z. B. aus der Pauling-Skala ersehen:

Aufgrund der ungleichen Verteilung der Elektronen zwischen den Atomen, verursacht durch ihre unterschiedliche Elektronegativität, hat das Molekül dann ein permanentes elektrisches Dipolmoment.

Beispiel: \(HCl\) Chlor (Cl) ist wesentlich elektronegativer als Wasserstoff (H). Die Elektronegativität von Chlor beträgt etwa 3.16 auf der Pauling-Skala, während die von Wasserstoff etwa 2.20 beträgt. Diese Differenz führt dazu, dass Chlor die gemeinsamen Elektronen in der HCl-Bindung stärker zu sich zieht als Wasserstoff.
Dadurch wird die Elektronenwolke in der Bindung zwischen H und Cl in Richtung Chlor verschoben. Dies führt zu einer partiellen negativen Ladung auf dem Chlor-Atom und einer partiellen positiven Ladung auf dem Wasserstoff-Atom. Diese Ladungstrennung innerhalb des Moleküls erzeugt ein Dipolmoment. Das Dipolmoment ist ein Vektor, der von der negativen zur positiven Ladung zeigt. In HCl zeigt das Dipolmoment daher vom Chloratom (negativ geladen) zum Wasserstoffatom (positiv geladen).

Bemerkung: Bezüglich der Richtung des Vektors des elektrischen Dipolmomentes herrschen in den verschiedenen Fachbereichen verschiedene Konventionen. Während in der Physik der Pfeil von der negativen Ladung zur positiven gezeichnet wird, wird es beispielsweise in der (physikalischen) Chemie die Richtung andersherum angegeben, von der positiven Ladung zur negativen (siehe Wikipedia). Wir halten uns an die “physikalische Konvention”:

Beispiel: \(CCl_4\) (Tetrachlormethan) hat kein elektrisches Dipolmoment. Die tetraedrische Anordnung ist sehr symmetrisch. Jedes Chloratom zieht die Elektronenpaarbindung vom Kohlenstoffatom in seine Richtung. Diese Kräfte gleichen sich jedoch aufgrund der Symmetrie des Moleküls gegenseitig aus. Jedes C-Cl-Bindungspaar hat zwar ein Dipolmoment aufgrund der Elektronegativitätsdifferenz zwischen Kohlenstoff (C) und Chlor (Cl). In Tetrachlormethan sind diese individuellen Bindungsdipole jedoch so angeordnet, dass ihre Vektorsumme null ist. Die Dipole heben sich gegenseitig auf, da sie in entgegengesetzte Richtungen entlang der Achsen des Tetraeders zeigen.

Beispiel: \(CH_4\) (Methan). Kein Dipolmoment. Begründung wie bei Tetrachlormethan (\(CCl_4\)).

Beispiel: \(NH_3\) (Ammoniak) Ammoniak hat ein permanentes elektrisches Dipolmoment. Stickstoff ist deutlich elektronegativer als Wasserstoff (Elektronegativität von Stickstoff: 3.04 vs. Elektronegativität von Wasserstoff: 2.20). Dies führt dazu, dass die Elektronen in den N-H-Bindungen stärker zu Stickstoff gezogen werden, was eine partielle negative Ladung am Stickstoff und partielle positive Ladungen an den Wasserstoffatomen zur Folge hat. Aufgrund der (asymmetrischen) trigonal-pyramidalen Geometrie addieren sich die Bindungsdipole nicht zu null.


Aufgabe 3: Spannung zwischen Kondensatorplatten

Ein Plattenkondensator mit kreisförmigen Platten, Plattenradius \(r = 12 \; cm\), Plattenabstand \(d = 4 \; mm\), wird in einer Zeit von \(t = 10^{-5} \; s\) vollständig geladen. Zwischen den Kondensatorplatten befindet sich Vakuum. Die mittlere Ladestromstärke beträgt \(I = 8 \; mA\).

Aufgabe: Berechne die Ladung auf den Kondensatorplatten sowie elektrische Feldstärke und Spannung zwischen den Platten des aufgeladenen Kondensators.

Die Ladung kann aus der mittleren Ladestromstärke und der Aufladezeit berechnet werden. Im Allgemeinen ist die Stromstärke definiert durch:

\[ I = \frac{dQ}{dt} \] Einheiten:

Ist der Strom konstant (oder soll der mittlere Strom berechnet werden), können wir einfach schreiben:

\[ I = \frac{Q}{t} \hspace{0.5cm} \Bigg| \hspace{0.5cm} \text{wenn} \hspace{0.3cm} I = const. \]

Nun können wir die Ladung mit Hilfe der gegebenen Größen berechnen:

\[ Q = I \cdot t = 8 \cdot 10^{-3} \; A \cdot 10^{-5} \; s = 8 \cdot 10^{-8} \; C \]

Man kann nun zunächst die Kapazität des Plattenkondensators berechnen:

\[ C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot \frac{A}{d} = 8.854 \cdot 10^{-12} \cdot 1 \cdot \frac{\pi \cdot \left( 0.12 \right)^2}{4 \cdot 10^{-3}} \;F = 1 \cdot 10^{-10} \;F \]

Hier sind:

Einheiten:

Bemerkungen:

Wir können nun die Spannung berechnen, denn es gilt:

\[ U = \frac{Q}{C} = \frac{8 \cdot 10^{-8} \; C}{ 10^{-10} \;F} = 800 \; V \]

Daraus folgt nun auch die elektrische Feldstärke im Plattenkondensator:

\[ E = \frac{U}{d} = \frac{800 \; V}{4 \cdot 10^{-3} \; m} = 200000 \; V/m \]

Alternativer Lösungsweg:

Sofort Feld aus Ladung berechnen mit

\[ E = \frac{Q}{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot A} \] (siehe Tabelle unten) und dann die Spannung mit \(U = E \cdot d\).


Source: https://de.wikipedia.org/wiki/Kondensator_(Elektrotechnik)

Source: https://de.wikipedia.org/wiki/Kondensator_(Elektrotechnik)


Aufgabe 4: Schwingkreis

Ein Kondensator mit der Kapazität \(C\) und eine Spule mit der Induktivität \(L\) bilden einen (ungedämpften) elektrischen Schwingkreis, der mit der Eigenfrequenz \(f_0\) schwingt. Die Kapazität des Kondensator beträgt \(C = 22 \; nF\). Die zylinderförmige Spule hat eine Querschnittsfläche von \(A = 31 \; cm^2\), eine Länge von \(l = 30 \; cm\) und die Windungszahl \(N = 20000\).

Aufgabe a): Erkläre anhand einer Skizze die Funktionsweise des Schwingkreises

Der Schwingkreis besteht aus einer Serienschaltung von Induktivität \(L\) und Kapazität \(C\).

Der LC-Schwingkreis nutzt die Energieumwandlung zwischen dem elektrischen Feld des Kondensators und dem magnetischen Feld der Spule. Diese Umwandlung führt zu Schwingungen mit einer bestimmten Frequenz, der Resonanzfrequenz. Wenn der Kondensator geladen ist, speichert er elektrische Energie in Form eines elektrischen Feldes. Die Spannung am Kondensator erreicht ein Maximum, während der Strom durch die Induktivität null ist. Sobald der Kondensator beginnt, sich zu entladen, fließt ein Strom durch die Spule (Induktivität). Die elektrische Energie des Kondensators wird in magnetische Energie in der Spule umgewandelt. Während dieser Phase nimmt die Spannung am Kondensator ab und der Strom durch die Spule nimmt zu. Wenn der Kondensator vollständig entladen ist, erreicht der Strom durch die Spule sein Maximum. Zu diesem Zeitpunkt ist die gesamte Energie in der Spule als magnetische Energie gespeichert. Der Strom durch die Spule erzeugt ein magnetisches Feld, das wiederum eine Spannung induziert, die den Kondensator in der entgegengesetzten Richtung auflädt. Dieser Prozess kehrt die Ladung des Kondensators um und setzt die Schwingung fort. Diese Energieumwandlung zwischen dem elektrischen Feld des Kondensators und dem magnetischen Feld der Spule führt zu periodischen Schwingungen im Schaltkreis. Die Frequenz dieser Schwingungen, die Resonanzfrequenz, wird durch die Werte von L und C bestimmt.

Zusammenfassung (sollte als Antwort ausreichen!) : Ein LC-Schwingkreis funktioniert durch die ständige Umwandlung von Energie zwischen dem elektrischen Feld des Kondensators und dem magnetischen Feld der Spule. Diese Umwandlung erzeugt elektrische Schwingungen mit einer bestimmten Resonanzfrequenz, die durch die Induktivität und Kapazität des Kreises bestimmt wird. Realistisch betrachtet führt der Widerstand im Schaltkreis zu Energieverlusten, die die Amplitude der Schwingungen allmählich reduzieren.

Bemerkung: Diese Antwort wurde von ChatGPT generiert und leicht modifiziert (Frage: “Erkläre die Wirkungsweise eines LC Schwingkreises”).


Aufgabe b): Berechne die Induktivität der Spule

Die Induktivität einer zylinderförmige Spule berechnet sich folgendermaßen:

\[ L = \mu_0 \cdot \mu_r \cdot N^2 \cdot \frac{A}{l} \] Hier sind:

Einheiten

Wir setzen die Werte ein:

\[ L = \mu_0 \cdot \mu_r \cdot N^2 \cdot \frac{A}{l} = 1.256 \cdot 10^{-6} \cdot 1 \cdot \left( 2 \cdot 10^4\right)^2 \cdot \frac{3.1 \cdot 10^{-3}}{0.3} \; H = 5.19 \; H \]

Aufgabe c): Berechne die Eigenfrequenz \(f_0\) des Schwingkreises

Die Eigenfrequenz des Schwingkreises (Resonanzfrequenz) ergibt sich aus der Thomsonschen Schwingungsgleichung und ist:

\[ f_0 = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}} \]

Wir setzen einfach die bekannten Werte ein:

\[ f_0 = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}} = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{5.19 \cdot 22 \cdot 10^{-9}}} = 471 \; s^{-1} = 471 \; Hz \]

Einheiten:


Aufgabe 5: Photonenenergie, Lichtintensität, Wiensches Verschiebungsgesetz

Nimm an, dass Sonnenlicht als monochromatisches Licht mit der Wellenlänge \(\lambda = 520 \; nm\) genähert werden kann.

Aufgabe a): Welche Energie haben die Photonen dieser Strahlung (in Elektronenvolt und in Joule) ?

Die quantisierte Photonenenergie beträgt:

\[ E_{ph} = \hslash \cdot \omega = h \cdot f \] Hier sind:

Wir haben nur die Wellenlänge \(\lambda\) gegeben, also benutzen wir die allgemeine Beziehung

\[ f = \frac{c}{\lambda} \]

Hier ist \(c\) die Lichtgeschwindigkeit, \(c = 299792458 \; m/s \approx 3 \cdot 10^8 \; m/s\).

Damit wird die Photonenenergie

\[ E_{ph} = h \cdot f = h \cdot \frac{c}{\lambda} = 6.626 \cdot 10^{-34} \; Js \cdot \frac{3 \cdot 10^8 \; m/s}{5.2 \cdot 10^{-7} \; m} = 3.82 \cdot 10^{-19} \; J \]

Die Umrechnung zwischen Elektronenvolt und Joule:

\[ \begin{align*} eV &= 1.6 \cdot 10^{-19} \; J \\[6pt] J &= 6.25 \cdot 10^{18} \; eV \end{align*} \]

Damit ist die gesuchte Photonenenergie in Joule:

\[ E_{ph} = 3.82 \cdot 10^{-19} \; J = 3.82 \cdot 10^{-19} \cdot 6.25 \cdot 10^{18} \; eV \approx 2.39 \; eV \]

Bemerkung: Den Umrechnungsfaktor zwischen \(eV\) und Joule kann man berechnen, wenn man die Größe der Elektronenladung (Elementarladung) kennt, siehe Anhang.


Aufgabe b): Wenn die Intensität des Sonnenlichtes \(I = 500 \; W/m^2\) beträgt, wie viele Photonen fallen dann in einer Sekunde auf eine Solarzelle mit der Fläche \(A = 0.5 \; m^2\) ?

Lösungsidee: Wir berechnen zuerst die gesamte Energie, die pro Sekunde auf diese Fläche fällt und teilen dies dann durch die oben berechnete Photonenenergie.

Die Intensität ist definiert als Leistung pro Fläche:

\[ I = \frac{P}{A} \]

Damit bekommen wir die Strahlungsleistung bezogen auf den halben Quadratmeter:

\[ P = I \cdot A = 500 \; W/m^2 \cdot 0.5 \; m^2 = 250 \; W \]

Die Leistung ist definiert als Energie (\(W\)) pro Zeit:

\[ P = \frac{W}{t} \]

Damit bekommen wir die Gesamtenergie \(W_{ges}\), die innerhalb einer Sekunde auf den halben Quadratmeter trifft:

\[ W_{ges} = P \cdot t = 250 \; W \cdot 1 \; s = 250 \; Ws = 250 \; J \]

Die Gesamtenergie ist gleich der Photonenenergie mal der Anzahl der Photonen:

\[ W_{ges} = n_{Ph} \cdot E_{ph} \] Damit bekommen wir die Anzahl der Photonen (pro Sekunde pro \(0.5 \; m^2\)):

\[ n_{Ph} = \frac{W_{ges}}{E_{ph}} = \frac{250 \; J}{3.82 \cdot 10^{-19} \; J} = 6.54 \cdot 10^{20} \]

Auf die Solarzelle treffen pro Sekunde \(6.54 \cdot 10^{20}\) Photonen.


Aufgabe c): Welche Temperatur herrscht auf der Sonnenoberfläche (Photosphäre) unter der Annahme, dass das Intensitätsmaximum des Sonnenspektrums bei einer Wellenlänge von \(\lambda = 520 \; nm\) liegt?

Das Wiensche Verschiebungsgesetz stellt eine Beziehung zwischen dem Maximum des Emissionsspektrums und der Temperatur eines Körpers her:

\[ \lambda_{max} \cdot T \approx 2898 \; \mu m \]

Hier sind:

Das Produkt von maximaler Wellenlänge und Temperatur ist also konstant. Je höher die Temperatur wird, desto mehr verschiebt sich der Peak der Wellenlänge zu kleineren Wellenlängen:

Source: https://de.wikipedia.org/wiki/Wiensches_Verschiebungsgesetz

Source: https://de.wikipedia.org/wiki/Wiensches_Verschiebungsgesetz


Wir stellen nach \(T\) um und setzen \(\lambda_{max} = 520 \; nm = 0.52 \; \mu m\) ein:

\[ T = \frac{ 2898 \;\mu m }{\lambda_{max}} = \frac{2898}{0.52} \approx 5573 \; K \]

Nach dieser Schätzung beträgt die Oberflächentemperatur der Sonne etwa \(5573 \; K\). Dies stimmt gut mit gemessenen Daten für die Sonne überein (\(T = 5772 \; K\)).


Aufgabe 6: Beschleunigungsspannung und de-Broglie Wellenlänge von Elektronen

Bei einem Experiment werden Elektronen mit einer Spannung von \(U_b = 2 \; kV\) beschleunigt.

Aufgabe a): Welche Geschwindigkeit besitzen die Elektronen ?

Beim Durchlaufen einer Potentialdifferenz gewinnt ein geladenes Teilchen die Energie:

\[ \Delta W = q \cdot U \]

Hier sind:

Diese Energie ist gleich dem Zuwachs an kinetischer Energie. Wir können daher schreiben (für ein Elektron ist \(q = e\)):

\[ e \cdot U_b = \frac{m_e}{2} \cdot v_e^2 \]

Hier sind:

Wir lösen nach \(v_e\) auf:

\[ v_e = \sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot U_b}{m_e}} = \sqrt{ \frac{2 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \cdot 2 \cdot 10^3}{9.11 \cdot 10^{-31}}} \; m/s = 2.65 \cdot 10^7 \; m/s \]

Einheiten: \(As \cdot V/kg = VAs/kg = Ws/kg = Nm/kg = kg \cdot m /s^2 \cdot m /kg = m^2/s^2\) (daraus die Wurzel)


Aufgabe b): Welche de-Broglie-Wellenlänge besitzen die Elektronen ?

Die de-Broglie-Wellenlänge \(\lambda_{e}\) von Teilchen hängt vom Impuls \(p_e\) des Teilchens ab, und damit von der Geschwindigkeit \(v_e\). Wir haben also:

\[ \lambda_{e} = \frac{h}{p_e} = \frac{h}{m_e \cdot v_e} = \frac{6.626 \cdot 10^{-34}}{9.11 \cdot 10^{-31} \cdot 2.65 \cdot 10^7} \cdot \frac{Js}{kg \cdot m/s} = 2.74 \cdot 10^{-11} \; m = 0.0274 \; nm \]

Hier sind:

Einheiten: \(J = Nm = kg \cdot m^2/s^2\), daher Ergebnis in Meter

Die de-Broglie-Wellenlänge eines mit \(U_b = 2 \; kV\) beschleunigten Elektrons beträgt \(0.0274 \; nm\).


Aufgabe 7: Radioaktiver Zerfall

Das Kobalt-Isotop \(^{60}Co\) hat eine Halbwertszeit von 5.3 Jahren. Ein Präparat besteht anfangs aus \(1 \; \mu g\) dieses Isotops.

Aufgabe a): Wie viele Kerne sind anfangs (zur Zeit \(t=0\)) vorhanden ?

Die Masse eines Kerns ist ungefähr gleich der Massenzahl, also der Anzahl von Protonen und Neutronen, multipliziert mit der Atomaren Masseneinheit. Daher wiegt ein Kern von \(^{60}Co\):

\[ m_{Co} = 60 \cdot u = 60 \cdot 1.66 \cdot 10^{-27} \; kg \approx 10^{-25} \; kg \] (Die Atomare Masseneinheit beträgt \(u = 1.66 \cdot 10^{-27} kg\).)

Die Anzahl der Kerne \(N_{Co}\) in einem \(\mu g\) ist daher:

\[ N_{Co} = \frac{10^{-9} \; kg}{10^{-25} \; kg} = 10^{16} \]

Zur Zeit \(t=0\) sind also \(10^{16}\) Kerne vorhanden.

Bemerkung: Die Masse der Elektronen kann vernachlässigt werden.


Aufgabe b): Wie viele Kerne sind nach 8765 Stunden vorhanden?

Die Anzahl der Kerne \(N(t)\) zur Zeit \(t\) berechnet sich wie folgt:

\[ N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t} \] Hier sind:

Zwischen der Zerfallskonstante und der Halbwertszeit \(T\) besteht die Beziehung:

\[ \lambda = \frac{\ln{(2)}}{T} \]

(Dieser Zusammanhang wurde im Anhang von Übung 12 hergeleitet.)

Wir können daher auch schreiben:

\[ N(t) = N_0 \cdot e^{-\ln{2} \cdot \frac{t}{T}} \]

Wir setzen nun nur noch die Werte ein (8765 Stunden sind ein Jahr):

\[ N(t) = N_0 \cdot e^{-\ln{2} \cdot \frac{t}{T}} = 10^{16} \cdot e^{-\ln{2} \cdot \frac{1}{5.3}} = 8.77 \cdot 10^{15} \] Nach einem Jahr sind noch \(8.77 \cdot 10^{15}\) Kerne des Präparates vorhanden.


Anhang

Der Umrechnungsfaktor zwischen eV und Joule

Wenn man die Elektronenladung kennt, kann man daraus auf den Umrechnungsfaktor zwischen eV und Joule schließen.

Wir notieren die Elektronenladung (ohne Vorzeichen):

\[ e = 1.6 \cdot 10^{-19} \; As \] Wir multiplizieren beide Seiten dieser “Gleichung” mit V (Volt):

\[ eV = 1.6 \cdot 10^{-19} \; VAs = 1.6 \cdot 10^{-19} \; Ws = 1.6 \cdot 10^{-19} \; J \] Einheiten:

  • Energie: \(J = Ws = VAs\)

Dies ist schon die Umrechnung von \(eV\) in Joule. Für die Umkehrung teilen wir beide Seiten der letzten “Gleichung” durch \(1.6 \cdot 10^{-19}\):

\[ \begin{align*} & eV = 1.6 \cdot 10^{-19} \; J \\[6pt] & \frac{1}{1.6 \cdot 10^{-19}} \; eV = J \\[6pt] & J = 6.25 \cdot 10^{18} \; eV \end{align*} \]

Ein eV ist die kinetische Energie, die ein Elektron beim Durchlaufen einer Potentialdifferenz von einem Volt aufnimmt:

\[ \Delta W_{kin} = e \cdot U = 1.6 \cdot 10^{-19} \; As \cdot 1 \cdot V = 1.6 \cdot 10^{-19} \; Ws = 1.6 \cdot 10^{-19} \; J = 1 \; eV \] Einheiten:

  • Leistung in Watt \(W = V \cdot A\)
  • Energie/Arbeit in Joule \(J = Ws = Nm\)


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