Bitte alles noch einmal nachrechnen !


Aufgabe 1: De-Broglie-Wellenlänge von Materie

Aufgabe: Berechne die de-Broglie-Wellenlänge eines Tennisballs mit der Masse \(m = 60 \; g\), der mit einer Geschwindigkeit von \(v = 100 \; m/s\) den Schläger verlässt. Diskutiere das Ergebnis.

Die de-Broglie-Wellenlänge hängt vom Impuls eines Objektes ab, und damit von der Geschwindigkeit:

\[ \lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m \cdot v} \]

Hier sind:

Damit erhalten wir für den Tennisball:

\[ \lambda = \frac{h}{m \cdot v} = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} \; Js}{6 \cdot 10^{-2} \; kg \cdot 10^{2} \; m/s} \approx 1.1 \cdot 10^{-34} \; m \]

Einheiten: Joule: \(J = Nm = kg \cdot m^2/s^2\)

Dies ist winzig, daher spielen die Welleneigenschaften von makroskopischen Gegenständen im Alltag keine Rolle. Wegen ihrer großen Masse sind die Impulse makroskopischer Dinge auch bei kleinsten alltagstypischen Geschwindigkeiten so groß, dass sich extrem kleine Wellenlängen ergeben. Da sich Welleneigenschaften nur dann zeigen, wenn Wellen auf Strukturen treffen, deren Abmessungen im Bereich der Wellenlänge liegen, ist im Makrokosmos kein Wellenverhalten zu beobachten. Die bisher (2019) größten Materiestücke, die in einem besonders ausgeklügelten Experiment Interferenzstreifen zeigten, sind bestimmte Moleküle aus bis zu 2000 Atomen. Zahlenmäßig noch deutlich größere Quantenobjekte können in Form von Bose-Einstein-Kondensaten (ultrakalten Atomwolken aus über 100.000 Atomen) hergestellt und zur Interferenz gebracht werden.
Zitiert von: https://de.wikipedia.org/wiki/Materiewelle

Übrigens ist 100 m/s wirklich gut! Man müsste diese/n Spieler/in mal kennenlernen, denn: “Tennisspieler Sam Groth hatte nach nur einem Aufschlag Weltruhm erlangt. Bei seinem Service wurde eine Wahnsinns-Geschwindigkeit von 263 Stundenkilometern gemessen. Sabine Lisicki hält mit 210,8 Stundenkilometern den Rekord bei den Damen”.
Siehe https://www.tennis-match.de/schnellste-aufschlag-der-welt.


Aufgabe 2: Intensität und Photonenzahl von monochromatischem Licht

Aufgabe: Wie viele Photonen fallen pro Sekunde auf die Fläche von \(A = 10 \; cm^2\), wenn einfallendes Licht eine Wellenlänge von \(\lambda = 500 \; nm\) und eine Leistungsdichte (Intensität) von \(I = 50 \; W/m^2\) hat?

1): Aus der Intensität und der Fläche berechnen wir die Energie (die pro Sekunde auf die Fläche \(A\) fällt). Die Intensität ist definiert als:

\[ I = \frac{P}{A} \] Hier sind:

Wir stellen um und setzen ein:

\[ P = I \cdot A = 50 \; W/m^2\cdot 10^{-3} \; m^2 = 0.05 \; W \] Wir können nun die Energie berechnen, die pro Sekunde auf die Fläche trifft. Bei zeitlich konstanter Leistung gilt allgemein:

\[ P = \frac{W}{t} \] Hier sind:

Wir stellen um und setzen ein:

\[ W = P \cdot t = 0.05 \; W \cdot 1 \; s = 0.05 \; Ws = 0.05 \; J \]

Wir haben nun die Energie, die insgesamt pro Sekunde auf die Fläche trifft. Wenn wir dies durch die Energie eines einzigen Photons teilen, bekommen wir die Anzahl der Photonen, die pro Sekunde auf die Fläche treffen.

Ein einziges Photon hat die Energie

\[ E_{ph} = h \cdot f = h \cdot \frac{c}{\lambda} \]

Hier sind:


Bemerkung: Wir haben die wichtige Formel \(c = \lambda \cdot f\) benutzt.

Damit hat ein Photon die Energie:

\[ E_{ph} = h \cdot \frac{c}{\lambda} = 6.626 \cdot 10^{-34} \; Js \cdot \frac{3 \cdot 10^8 \; m/s}{5 \cdot 10^{-7} \; m} = 3.97 \cdot 10^{-19} \; J \]

Die Gesamtenergie geteilt durch die Energie eines einzigen Photons ergibt nun die Anzahl der Photonen:

\[ n_{ph} = \frac{W}{E_{ph}} = \frac{0.05 \; J}{3.97 \cdot 10^{-19} \; J} = 1.26 \cdot 10^{17} \]

Pro Sekunde treffen etwa \(1.26 \cdot 10^{17}\) Photonen auf die Fläche von \(10 \; cm^2\).


Aufgabe 3: Frühes Modell des Wasserstoffatoms

In einem frühen Modell des Wasserstoffatoms stellte man sich vor, dass ein Elektron (Ladung \(q_e = −1.6 \cdot 10^{−19} \; As\)) sich gleichförmig auf einer Kreisbahn mit dem Radius \(r = 5.29 \cdot 10^{−11} \; m\) um den Kern des Wasserstoffatoms kreist. Der Kern besteht aus einem Proton mit der Ladung \(q_p = +1.6 \cdot 10^{−19} \; As\).

Aufgabe a): Berechne den Betrag der Coulomb-Kraft \(F_c\) zwischen Kern und Elektron.

Die Coloumbkraft zwischen zwei Ladungen im Abstand \(r\) hat den Betrag:

\[ F_c = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r^2} \] Hier sind:

Wir bekommen daher mit den in der Aufgabe genannten Daten:

\[ F_c = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r^2} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot 8.854 \cdot 10^{-12} \; As/Vm} \cdot \frac{\left( 1.6 \cdot 10^{−19} \; As \right)^2}{\left( 5.29 \cdot 10^{−11} \; m\right)^2} = 8.22 \cdot 10^{-8} \; N \]

Einheiten: \(VAs = Ws = Nm\)

Die Kraft würde \(8.22 \cdot 10^{-8} \; N\) betragen.

Aufgabe b): Bei Vernachlässigung anderer Kräfte muss bei der Bewegung des Elektrons auf einer Kreisbahn die Coulomb-Kraft die Zentripetalkraft aufbringen. Die Masse des Elektrons ist \(m_e = 9.1 \cdot 10^{−31} \; kg\). Berechne unter diesen Annahmen den Betrag \(v\) der Bahngeschwindigkeit des Elektrons auf der Kreisbahn. Berechne auch die Umlaufdauer \(T\).

Die Größe der Zentripetalkraft ist:

\[ F_z = m \cdot \frac{v^2}{r} \]

Hier sind:

Die Zentripetalkraft müsste \(F_z = 8.22 \cdot 10^{-8} \; N\) betragen, um das Elektron auf die Kreisbahn zu zwingen (Aufgabe a).

Wir stellen nach der Geschwindigkeit um:

\[ v = \sqrt{ \frac{F_z \cdot r}{m}} = \sqrt{ \frac{8.22 \cdot 10^{-8} \; N \cdot 5.29 \cdot 10^{−11} \; m}{9.1 \cdot 10^{−31} \; kg}} \approx 2.19 \cdot 10^6 \; m/s \]

Einheiten: Newton: \(N = \frac{kg \cdot m}{s^2}\)

Die Bahngeschwindigkeit müsste unter diesen Bedingungen etwa \(2.19 \cdot 10^6 \; m/s\) betragen (sonst würde unter diesen Annahmen das Elektron in den Kern fallen oder wegfliegen, je nachdem, ob die Geschwindigkeit kleiner oder größer als dieser Wert wäre).

Bei der Kreisbewegung wird ganz allgemein ein Kreisumfang pro Umlaufzeit zurückgelegt, die Geschwindigkeit ist also:

\[ v = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T} \] Daraus folgt:

\[ T = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{v} = \frac{2 \cdot \pi \cdot 5.29 \cdot 10^{−11} \; m}{2.19 \cdot 10^6 \; m/s} \approx 1.52 \cdot 10^{-16} \; s \]

Die Umlaufzeit würde etwa \(1.52 \cdot 10^{-16} \; s\) betragen.


Aufgabe 4: Streuung von Elektronenstrahlen an Festkörper-Oberflächen

Die Wellennatur von Elektronen offenbart sich in Experimenten, bei denen ein Elektronenstrahl mit den Atomen einer Festkörperoberfläche wechselwirkt. Wenn man die Winkelverteilung der gestreuten Elektronen untersucht, kann man indirekt die geometrische Anordnung der Atome im Gitter bestimmen. Ein solches Experiment haben Davisson und Germer als Erste durchgeführt.

Aufgabe: Angenommen, die Elektronen treffen senkrecht auf die Festkörperoberfläche auf, und die Energie der Elektronen ist so niedrig (\(E_{kin} = 100 \; eV\) ), dass sie nur mit den Oberflächenatomen wechselwirken. Wie groß ist der Abstand zwischen den Oberflächenatomen, wenn der kleinste Winkel, bei dem ein Beugungsmaximum festgestellt wird, \(\theta = 24^o\) beträgt?

Davisson und Germer haben 1927 in einem Experiment einen Elektronenstrahl senkrecht auf die Oberfläche eines Kristalls geschossen und die Intensität der gestreuten Elektronen in Abhängigkeit vom Streuwinkel \(\theta\) gemessen. Es zeigte sich ein Interferenzmuster mit deutlichen Maxima und Minima bei bestimmten Winkeln. Da Interferenz eine Welleneigenschaft ist, wurde mit diesem Experiment die von Louis de Broglie 1924 formulierte Hypothese der Materiewellen bestätigt.

Source: https://de.wikipedia.org/wiki/Davisson-Germer-Experiment

Source: https://de.wikipedia.org/wiki/Davisson-Germer-Experiment

Der Zusammenhang zwischen dem Abstand der Oberflächenatome und dem Streuwinkel kann mit Hilfe der Bragg-Gleichung formuliert werden:

\[ n \cdot \lambda_e = 2 \cdot d \cdot \sin{ \left( 90^o - \theta/2 \right)} \hspace{1.5cm} (1) \] Hier sind:

Bemerkung: Wir nehmen hier an, dass \(\theta\) der Streuwinkel wie in der obigen Abbildung ist. Es gibt hier verschiedene Winkel, so dass die Bragg-Gleichung auch anders aussehen kann!

Wir müssen die de-Broglie-Wellenlänge zunächst aus der Energie des einfallenden Elektronenstrahls berechnen. Wir haben folgenden Zusammenhang (siehe auch Aufgabe 8.3)

\[ \lambda_{e} = \frac{h}{p_e} = \frac{h}{m_e \cdot v_e} = \frac{h}{ \sqrt{ 2 \cdot m_e \cdot E_{kin} } } \]

Hier sind:

Es ist vorteilhaft, zunächst die kinetische Energie in Joule auszudrücken. Die Umrechnungsformel ist \(eV = 1.6 \cdot 10^{-19} \; J\), also:

\[ E_{kin} = 10^2 \; eV = 10^2 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \; J = 1.6 \cdot 10^{-17} \; J \]

Mit obiger Formel erhalten wir dann für die de-Broglie-Wellenlänge der Elektronen:

\[ \lambda_{e} = \frac{h}{ \sqrt{ 2 \cdot m_e \cdot E_{kin}}} = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} \; Js}{ \sqrt{ 2 \cdot 9.1 \cdot 10^{-31} \; kg \cdot 1.6 \cdot 10^{-17} \; J}} = 1.228 \cdot 10^{-10} \; m = 1.228 \; \mathring{A} \]

Einheiten: Joule: \(J = kg \cdot m^2 / s^2\)

Wir können nun Gleichung (1) nach \(d\) umstellen, wobei wir \(n = 1\) setzen (erstes Beugungsmaximum) und \(\theta = 24^o\):

\[ d = \frac{\lambda_e}{2 \cdot \sin{ \left( 90^o - \theta/2 \right)}} = \frac{1.228 \; \mathring{A}}{2 \cdot \sin{ \left( 78^o \right)}} = 0.628 \; \mathring{A} \]

Der Abstand zwischen den Oberflächenatomen beträgt etwa \(0.628 \; \mathring{A}\).


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