Bitte alles noch einmal nachrechnen !


Aufgabe 1: Wiensches Verschiebungsgesetz

Aufgabe: Es ist bekannt, dass die Sonne Licht emittiert, dessen Intensitätsmaximum im Bereich des sichtbaren Spektrums bei etwa 500 nm liegt. Schätze daraus die Oberflächentemperatur der Sonne ab.

Das Wiensche Verschiebungsgesetz stellt eine Beziehung zwischen dem Maximum des Emissionsspektrums und der Temperatur eines Körpers her:

\[ \lambda_{max} \cdot T \approx 2898 \; \mu m \] Hier sind:

Das Produkt von maximaler Wellenlänge und Temperatur ist also konstant. Je höher die Temperatur wird, desto mehr verschiebt sich der Peak der Wellenlänge zu kleineren Wellenlängen:

Source: https://de.wikipedia.org/wiki/Wiensches_Verschiebungsgesetz

Source: https://de.wikipedia.org/wiki/Wiensches_Verschiebungsgesetz


Streng genommen gilt das Gesetz nur für schwarze Körper, d.h. für Körper, die die gesamte auftreffende elektromagnetische Strahlung absorbieren.

Wir stellen nach \(T\) um und setzen \(\lambda_{max} = 500 \; nm = 0.5 \; \mu m\) ein:

\[ T = \frac{ 2898 \;\mu m }{\lambda_{max}} = \frac{2898}{0.5} \approx 5800 \; K \]

Nach dieser Schätzung beträgt die Oberflächentemperatur der Sonne etwa \(5800 \; K\). Dies stimmt gut mit gemessenen Daten für die Sonne überein (\(T = 5772 \; K\)).


Aufgabe 2: Farbe der Sterne

Aufgabe: In welcher Farbe erscheint ein Stern mit einer Oberflächentemperatur von 32500 K?

Leider kann man hier nicht vom Wienschen Verschiebungsgesetz ausgehen, denn das Maximum der Wellenlänge ist nicht entscheidend für die vom Auge wahrgenommene Farbe (wenn das so wäre, würde die Sonne grün-gelb aussehen, denn dies entspricht der Wellenlänge \(\lambda = 500 \; nm\), siehe Sonnenstrahlung). Elektromagnetische Strahlung hat grundsätzlich objektiv keine Farbe, ein Farbeindruck ist stets subjektiv und hängt von der Informationsverarbeitung im Auge und im Gehirn ab. Kurz gesagt: Einen Sinneseindruck kann man nicht ausrechnen.
Der Farbeindruck kann also nur aus Erfahrungswerten gewonnen werden: Welchen Farbeindruck hat das menschliche Auge von einem Material einer bestimmten Temperatur? Laut dieser Tabelle dürfte dann ein Stern mit einer Oberflächentemperatur von 32500 Kelvin jenseits des Violett-Weißen liegen, also wahrscheinlich (?) im nicht sichtbaren Bereich.


Aufgabe 3: de-Broglie-Wellenlänge des Elektrons

Aufgabe: In einem Elektronenmikroskop liegt die Auflösung in der Größenordnung der Wellenlänge von Elektronen. Was ist die minimale Elektronenenergie, die erforderlich ist, um ein Objekt mit einer Ausdehnung von \(\Delta x = 1 \; \mathring{A}\) aufzulösen?

Wir brauchen die de-Broglie-Wellenlänge von Elektronen. Diese hängt vom Impuls des Elektrons ab, und damit von der Geschwindigkeit bzw. der kinetischen Energie. Wir haben (mit \(W_{kin} = m_e/2 \cdot v_e^2\)):

\[ \lambda_{e} = \frac{h}{p_e} = \frac{h}{m_e \cdot v_e} = \frac{h}{ \sqrt{ 2 \cdot m_e \cdot W_{kin} } } \]

Hier sind:

Die Auflösung soll \(\Delta x = 1 \; \mathring{A}\) betragen, und diese liegt in der Größenordnung der Wellenlänge des Elektrons. Wir setzen also \(\lambda_e = \Delta x\) und schreiben anstelle der obigen Formel:

\[ \Delta x = \frac{h}{ \sqrt{ 2 \cdot m_e \cdot W_{kin} } } \]

Umstellen nach der kinetischen Energie ergibt:

\[ W_{kin} = \frac{h^2}{2 \cdot m_e \cdot \left( \Delta x \right)^2} = \frac{\left( 6.626 \cdot 10^{-34} \; Js\right)^2}{2 \cdot 9.1 \cdot 10^{-31} \; kg \cdot \left( 10^{-10} \; m \right)^2} = 2.41 \cdot 10^{-17} \; J \]

Einheiten:

Mit der Umrechnungsformel \(J = 6.25 \cdot 10^{18} \; eV\) erhalten wir:

\[ W_{kin} = 2.41 \cdot 10^{-17} \; J = 2.41 \cdot 10^{-17} \cdot 6.25 \cdot 10^{18} \; eV \approx 150 \; eV \]


Aufgabe 4: Photoelektrischer Effekt

Aufgabe: Wie groß sind die maximale kinetische Energie und die Geschwindigkeit eines Elektrons, das aus der Oberfläche eines Natrium-Kristalls mit der Austrittsarbeit \(W_a = 2.28 \; eV\) herausgeschlagen wird, wenn Licht der Wellenlänge \(\lambda_1 = 410 \; nm\) bzw. \(\lambda_2 = 550 \; nm\) einfällt?

Es handelt sich um den äußeren photoelektrischen Effekt. Die Interpretation dieses Effektes war ein bedeutender Schritt von der klassischen Physik zur Quantenmechanik (mehr dazu im Anhang). Ein Photon trifft auf ein Material und wird von einem Elektron in dem Material absorbiert.

Source: https://de.wikipedia.org/wiki/Photoelektrischer_Effekt

Source: https://de.wikipedia.org/wiki/Photoelektrischer_Effekt

Die Energie des Photons \(h \cdot \nu\) dient einerseits dazu, die Austrittsarbeit \(W_A\) des Elektrons zu verrichten. Die dann noch verbleibende Energie wird vom Elektron als kinetische Energie mitgenommen. Die Energiebilanz lautet also:

\[ h \cdot \nu = W_A + \frac{m_e}{2} \cdot v_e^2 \] Hier sind:

Da wir nur die Wellenlänge des Photons gegeben haben, müssen wir noch die Beziehung zwischen Frequenz und Wellenlänge des Photons heranziehen:

\[ \nu = \frac{c}{\lambda} \] Hier ist \(c\) die Lichtgeschwindigkeit, \(c = 299792458 \; m/s \approx 3 \cdot 10^8 \; m/s\).

Damit wird die obige Gleichung (Energiebilanz):

\[ h \cdot \frac{c}{\lambda} = W_A + \frac{m_e}{2} \cdot v_e^2 = W_A + W_{kin} \]

Es ist günstig, die Austrittsarbeit zunächst in SI-Einheiten auszudrücken. Die Umrechnung von Elektronenvolt in Joule lautet:

\[ 1 \; eV = 1.6 \cdot 10^{-19} \; J \]

Daher ist die Austrittsarbeit:

\[ W_A = 2.28 \; eV = 2.28 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \; J = 3.65 \cdot 10^{-19} \; J \]


Teil a), Wellenlänge des Photons \(\lambda = 410 \; nm\)

Wir berechnen zunächst die kinetische Energie (Energiebilanz umstellen):

\[ W_{kin} = h \cdot \frac{c}{\lambda} - W_A = 6.626 \cdot 10^{-34} \; Js \cdot \frac{3 \cdot 10^8 \; m/s}{4.1 \cdot 10^{-7} \; m} - 3.65 \cdot 10^{-19} \; J = 4.85 \cdot 10^{-19} \; J - 3.65 \cdot 10^{-19} \; J = 1.2 \cdot 10^{-19} \; J \]


Wollen wir das in \(eV\) ausdrücken, nutzen wir \(J = 6.25 \cdot 10^{18} \; eV\) und bekommen:

\[ W_{kin} = 1.2 \cdot 10^{-19} \; J = 1.2 \cdot 10^{-19} \cdot 6.25 \cdot 10^{18} \; eV = 0.75 \; eV \]

Zur Probe kann die Energiebilanz noch einmal in \(eV\) berechnet werden. Hier ist es günstig, das Plancksche Wirkungsquantum in \(eV \cdot s\) auszudrücken:

\[ h = 4.136 \cdot 10^{-15} \; eV \cdot s \]

Die Energiebilanz lautet nun:

\[ \begin{align*} h \cdot \frac{c}{\lambda} &= W_A + W_{kin} \\[6pt] 4.136 \cdot 10^{-15} \; eV \cdot s \cdot \frac{3 \cdot 10^8 \; m/s}{4.1 \cdot 10^{-7} \; m} &= 2.28 \; eV + 0.75 \; eV \\[6pt] 3.03 \; eV &= 2.28 \; eV + 0.75 \; eV \\[6pt] 3.03 \; eV &= 3.03 \; eV \end{align*} \]

Das scheint in Ordnung zu sein. Das Photon hat also eine Energie von rund \(3.03 \; eV\). Davon werden \(2.28 \; eV\) für die Austrittsarbeit angewendet, der Rest von \(0.75 \; eV\) geht in die kinetische Energie des Elektrons.

Die kinetische Energie des Elektrons beträgt \(W_{kin} = 1.2 \cdot 10^{-19} \; J\). Wir berechnen daraus noch die Geschwindigkeit \(v_e\):

\[ \begin{align*} W_{kin} &= \frac{m_e}{2} \cdot v_e^2 \\[6pt] v_e &= \sqrt{ \frac{2 \cdot W_{kin}}{m_e}} = \sqrt{ \frac{2 \cdot 1.2 \cdot 10^{-19} \; J}{9.1 \cdot 10^{-31} \; kg}} = 5.13 \cdot 10^5 \; m/s = 513 \; km/s. \end{align*} \]

Einheiten: \(J = Nm = kg \cdot m^2/s^2\)

Das ist ganz schön schnell.


Teil b), Wellenlänge des Photons \(\lambda = 550 \; nm\)

Die Energie des Photons beträgt (wir drücken \(h\) in \(eV \cdot s\) aus, also \(h = 4.136 \cdot 10^{-15} \; eV \cdot s\)):

\[ E_{Ph} = h \cdot \frac{c}{\lambda} = 4.136 \cdot 10^{-15} \; eV \cdot s \cdot \frac{3 \cdot 10^8 \; m/s}{5.5 \cdot 10^{-7} \; m} = 2.256 \; eV \] Die Energie des Photons reicht also nicht aus, um die Austrittsarbeit von \(2.28 \; eV\) aufzubringen, es kann kein Elektron aus dem Material herausgelöst werden.


Anhang: Zum photoelektrischen Effekt

Experimentelle Beobachtung

Man bestrahlt eine negativ geladene Metallplatte mit monochromatischem Licht. Dadurch werden Elektronen aus dem Metall herausgelöst. Messungen ergaben, dass die kinetische Energie der Elektronen nicht von der Intensität, sondern von der Wellenlänge der Strahlung abhängt. Oberhalb einer gewissen Wellenlänge (“Grenzwellenlänge”) werden gar keine Elektronen emittiert. Eine Erhöhung der Intensität bewirkt lediglich eine Erhöhung der Anzahl der herausgelösten Elektronen. Außerdem erfolgt die Herauslösung der Elektronen ohne Verzögerung.

Keine Erklärung mit klassischer Physik

In der klassischen Physik wird Licht ausschließlich als elektromagnetische Welle betrachtet. Demnach würde die Herauslösung eines Elektrons dadurch geschehen, dass das Elektron im elektromagnetischen Feld der Welle immer mehr in Schwingungen gerät, bis es schließlich die Coulombschen Anziehungskräfte im Atomverband überwinden kann. Dies würde jedoch eine relativ lange Zeit in Anspruch nehmen. Und vor allen Dingen: Nach der klassischen Theorie müsste die kinetische Energie der herausgelösten Elektronen mit der Intensität der Strahlung zunehmen, denn die Feldstärke der Welle wächst mit der Intensität:

\[ I = \frac{c}{2} \cdot \varepsilon_0 \cdot E_0^2 \] Hier sind:

  • \(c\) die Lichtgeschwindigkeit, \(c = 299792458 \; m/s \approx 3 \cdot 10^8 \; m/s\)
  • \(\varepsilon_0\) die elektrische Feldkonstante, \(\varepsilon_0 \approx 8.854 \cdot 10^{-12} \; \frac{As}{Vm}\)
  • \(E_0\) die maximale Amplitude (elektrische Feldstärke) des elektrischen Feldes der Welle.

Höhere Intensität würde also höhere Feldstärke bewirken, und höhere Feldstärke würde die auf das Elektron wirkende Kraft erhöhen und sollte somit die kinetische Energie erhöhen. Der experimentelle Befund zeigt jedoch, dass dies nicht der Fall ist.
Die Abhängigkeit der kinetischen Energie von der Wellenlänge und die Existenz der Grenzwellenlänge können mit Hilfe der klassischen Physik überhaupt nicht erklärt werden.

Erklärung mit Hilfe der Quantenmechanik

Eine Erklärung der experimentellen Befunde erhält man, wenn man der Strahlung Quantencharakter zuschreibt. Demnach kann Strahlung mit Materie nicht beliebige Energiemengen austauschen, sondern nur bestimmte diskrete „Energiepakete“, die Quanten. Man kann sich Licht also aus kleinen Energiepaketen bestehend vorstellen, den Photonen. Dabei transportiert jedes Photon die Energie:

\[ E_{ph} = h \cdot \nu = h \cdot \frac{c}{\lambda} \]

Hier sind:

Bemerkung: Frequenz und Wellenlänge hängen über die allgemeine Beziehung \(c = \lambda \cdot \nu\) zusammen.

Die Energiebilanz beim äußeren photoelektrischen Effekt kann nun folgendermaßen formuliert werden:

Die Energie des Photons \(h \cdot \nu\) dient einerseits dazu, die Austrittsarbeit \(W_A\) des Elektrons aufzubringen. Das ist die Arbeit, die aufgewandt werden muss, um ein Elektron aus dem Festkörper zu lösen. Die dann noch verbleibende Energie wird vom Elektron als kinetische Energie mitgenommen. Die Energiebilanz lautet nun also:

\[ h \cdot \nu = W_A + \frac{m_e}{2} \cdot v_e^2 \]

Hier sind:

  • \(h\) das Plancksche Wirkungsquantum, \(h = 6.626 \cdot 10^{-34} \; Js = 4.136 \cdot 10^{-15} \; eV \cdot s\)
  • \(\nu\) die Frequenz des Lichtes
  • \(W_A\) die Austrittsarbeit
  • \(m_e\) die Masse des Elektrons, \(m_e = 9.1 \cdot 10^{-31} \; kg\)
  • \(v_e\) die Geschwindigkeit des Elektrons

Ist die Photonenenergie kleiner als die Austrittsarbeit - also die Frequenz klein bzw. die Wellenlänge groß - kann kein Elektron herausgelöst werden. Damit haben wir eine Erklärung für die Existenz der Grenzfrequenz. Für Frequenzen oberhalb der Grenzfrequenz gilt: Je größer die Frequenz, desto größer die kinetische Energie (bzw. Geschwindigkeit) der herausgelösten Elektronen (denn die Austrittsarbeit ist konstant).
Damit ist die Abhängigkeit der kinetischen Energie von der Wellenlänge und die Existenz der Grenzwellenlänge mit Hilfe der Quantenmechanik erklärt.

Fazit

Die klassische Physik ist damit nicht verworfen. Effekte wie Beugung, Brechung, Interferenz werden nach wie vor im Wellenmodell erklärt. Andere Effekte, wie der oben diskutierte äußere lichtelektrische Effekt, der Compton-Effekt sowie das Plancksche Strahlungsgesetz beruhen auf der Quantentheorie. Es herrscht der sogenannte Welle-Teilchen-Dualismus. Danach werden Objekten der Quantenphysik sowohl Eigenschaften von klassischen Wellen wie die von klassischen Teilchen zugeschrieben. Beide Eigenschaften scheinen sich gegenseitig auszuschließen. Trotzdem wurde in mehreren Schlüsselexperimenten für verschiedene Quantenobjekte belegt, dass beide Eigenschaften vorliegen (Wikipedia).


uwe.menzel@matstat.org