Aufgabe 1: Resonanzfrequenz eines Schwingkreises

Ein Radiosender strahlt sein Programm auf einer Frequenz von 1040 kHz aus. Wenn Du einen Empfänger bauen willst, der diesen Sender empfängt, und bereits eine Spule mit einer Induktivität von \(L = 4.0 \; mH\) besitzt, wie groß muss dann die Kapazität \(C\) des Kondensators sein?

Die Resonanzfrequenz des Schwingkreises soll gleich der Frequenz der Radiowellen sein. Die Resonanzfrequenz ergibt sich aus der Thomsonschen Schwingungsgleichung:

\[ f_0 = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}} \] Hier sind:

Einheiten:

Die Herleitung dieser Gleichung gibt es im Anhang.

Wir stellen die obige Gleichung nach \(C\) um (alle anderen Größen sind bekannt):

\[ C = \frac{1}{4 \cdot \pi^2 \cdot f_0^2 \cdot L} = \frac{1}{4 \cdot \pi^2 \cdot \left(1.04 \cdot 10^6 \; s^{-1} \right)^2 \cdot 4 \cdot 10^{-3} \; Vs/A} = 5.85 \cdot 10^{-12} \; F \]

Der Kondensator im Schwingkreis muss eine Kapazität von \(5.85 \cdot 10^{-12}\) Farad haben.


Aufgabe 2: Beugungsgitter

Auf ein Beugungsgitter mit 1000 Furchen pro mm fällt Licht mit der Wellenlänge \(\lambda = 480 \; nm\) unter dem Einfallswinkel \(\alpha = 30^o\) gegen die Gitternormale.

Teil a): Unter welchem Winkel \(\beta\) erscheint die erste Beugungsordnung?

Die Gitterkonstante beträgt \(g = 10^{-3} \; m / 1000 = 10^{-6} \; m\).

Die Lage der Maxima wird durch folgende Formel beschrieben (Herleitung siehe Anhang):

\[ g \cdot \left( \sin{\beta} - \sin{\alpha} \right) = m \cdot \lambda \] Hier sind:

Wir setzen \(m=1\) (erstes Hauptmaximum) und stellen nach \(\beta\) um:

\[ \begin{align*} \beta &= \arcsin{\Bigg[ \frac{\lambda}{g} + \sin{\alpha} \Bigg]} \\[6pt] &= \arcsin{\Bigg[ \frac{4.8 \cdot 10^{-7} \; m}{10^{-6} \; m} + \sin{30^o} \Bigg]} \\[6pt] &= \arcsin{\Bigg[ 0.48 + 0.5 \Bigg]} \approx 78.522^o \end{align*} \] Bei einer Wellenlänge von \(\lambda = 480 \; nm\) erscheint die erste Beugungsordnung unter einem Winkel von \(\beta = 78.522^o\).


Teil b): Was ist der Winkelunterschied \(\Delta \beta\) für zwei Wellenlängen \(\lambda_1 = 480 \; nm\) und \(\lambda_2 = 481 \; nm\) ?

Wir müssen noch den Winkel für \(\lambda_2 = 481 \; nm\) berechnen:

\[ \begin{align*} \beta_2 &= \arcsin{\Bigg[ \frac{\lambda_2}{g} + \sin{\alpha} \Bigg]} \hspace{0.8cm} \Bigg| \hspace{0.5cm}\lambda_2 \hspace{0.2cm} \text{statt} \;\lambda \\[6pt] &= \arcsin{\Bigg[ \frac{4.81 \cdot 10^{-7} \; m}{10^{-6} \; m} + \sin{30^o} \Bigg]} \\[6pt] &= \arcsin{\Bigg[ 0.481 + 0.5 \Bigg]} \approx 78.813^o \end{align*} \]

Bei einer Wellenlänge von \(\lambda = 481 \; nm\) erscheint die erste Beugungsordnung unter einem Winkel von \(\beta_2 = 78.813^o\).

Der Winkelunterschied beträgt

\[ \Delta \beta = \beta_2 - \beta = 78.813^o - 78.522^o = 0.291^o \]


Aufgabe 3: Doppelspaltexperiment

Ist es möglich, dass beim Doppelspaltexperiment Interferenzerscheinungen auftreten, wenn die Wellenlänge der auftreffenden Strahlung größer als der Spaltmittenabstand \(b\) ist?

Interferenzmaxima beim Doppelspaltexperiment ergeben sich dort, wo der Gangunterschied der beiden Strahlen ein Vielfaches der Wellenlänge \(\lambda\) beträgt. Es muss also gelten (siehe Anhang):

\[ b \cdot \sin{(\alpha_m)} = m \cdot \lambda \] Hier sind:

Wir wollen mindestens ein Beugungsmaximum sehen (\(m = 1\)). Die linke Seite der obigen Gleichung ist nicht größer als \(b\), also darf auch die rechte Seite nicht größer als \(b\) sein, d.h. \(\lambda\) darf nicht größer als \(b\) sein. Wir fordern also immer:

\[ \lambda < b \]


Aufgabe 4: Snelliussches Brechungsgesetz

Licht trifft unter einem Winkel von \(60^o\) von Luft auf eine Glasplatte. Der Brechungsindex von Luft ist 1.0, der von Glas ist 1.5.

Das Snelliussche Brechungsgesetz lautet:

\[ n_1 \cdot \sin{\alpha_1} = n_2 \cdot \sin{\alpha_2} \] Hier sind:

Teil (a): Berechne den Brechungswinkel beim Eintritt in das Glas

Wir haben: \(\alpha_1 = 60^o\); \(n_1 = 1.0\) ; \(n_2 = 1.5\).

Wir stellen nach \(\alpha_2\) um:

\[ \alpha_2 = \arcsin{ \Bigg[\frac{n_1}{n_2} \cdot \sin{\alpha_1} \Bigg]} = \arcsin{ \Bigg[\frac{1.0}{1.5} \cdot \sin{60^o} \Bigg]} = \arcsin{(0.577)} = 35.26^o \] Der Strahl hat im Glas einen Winkel von \(35.26^o\) zur Flächennormalen.

Teil (b): Berechne den Brechungswinkel, unter dem der Strahl das Glas verlässt.

Es ist jetzt: \(\alpha_1 = 35.26^o\); \(n_1 = 1.5\) ; \(n_2 = 1.0\).

Wir wenden die gleiche Formel an:

\[ \alpha_2 = \arcsin{ \Bigg[\frac{n_1}{n_2} \cdot \sin{\alpha_1} \Bigg]} = \arcsin{ \Bigg[\frac{1.5}{1.0} \cdot \sin{35.26^o} \Bigg]} = \arcsin{(0.866)} = 60^o \]

Nach dem Austritt aus dem Glas beträgt der Winkel zur Flächennormalen wieder \(60^o\).


Anhang

Herleitung der Thomsonschen Schwingungsgleichung

Der Schwingkreis besteht aus einer Serienschaltung von Induktivität \(L\) und Kapazität \(C\).

Zur Herleitung der Schwingungsgleichung nutzen wir das 2. Kirschhoffsche Gesetz (Maschensatz). Es besagt, dass die Summe der Spannungen in einer Serienschaltung Null sein muss:

\[ U_L + U_C = 0 \] Die Spannung am Kondensator ist \(U_C = Q/C\), hier ist \(Q\) die Ladung und \(C\) die Kapazität des Kondensators.
Die Spannung an der Spule berechnet sich zu \(U_L = L \cdot dI/dt\), wobei \(I\) der Leitungsstrom und \(L\) die Induktivität der Spule ist.

Damit wird obige Gleichung:

\[ L \cdot \frac{dI}{dt} + \frac{Q}{C} = 0 \] Wir leiten diese Gleichung nach \(d/dt\) ab und beachten, dass \(I = dQ/dt\) ist. Damit erhalten wir:

\[ L \cdot \frac{d^2I}{dt^2} + \frac{I}{C} = 0 \] Das ist eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten für den Strom \(I\).

Um die Schwingungsfrequenz \(\omega_0\) zu ermitteln, nutzen wir den Ansatz:

\[ I(t) = I_0 \cdot \cos{(\omega_0 \cdot t)} \] mit noch unbekanntem \(\omega_0\).

Einsetzen des Ansatzes in die Differentialgleichung ergibt:

\[ \begin{align*} L \cdot I_0 \cdot \omega_0^2 \cdot \cos{(\omega_0 \cdot t)} &= \frac{1}{C} \cdot I_0 \cdot \cos{(\omega_0 \cdot t)} \hspace{0.5cm} \Bigg| \hspace{0.5cm} \text{Kürzen} \\[6pt] L \cdot \omega_0^2 &= \frac{1}{C} \\[6pt] \omega_0 &= \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}} \end{align*} \]

Damit ergibt sich für die Frequenz des Schwingkreises:

\[ f_0 = \frac{\omega_0}{2 \cdot \pi} = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}} \]


Herleitung des Beugungswinkels bei schrägem Einfall

Wir müssen den Gangunterschied zwischen Strahlen betrachten, die durch benachbarte Spalte gehen. Wir betrachten hier die in der Abbildung durch 1 und 2 markierten Strahlen. Es entsteht ein Gangunterschied vor dem Gitter und ein Gangunterschied hinter dem Gitter.

Vor dem Gitter hat Strahl 1 einen größeren Weg zurückzulegen. Der Gangunterschied ist gleich der Strecke \(AD\) ( rot markiert ). Was man vielleicht nicht so gut sieht: Der Winkel \(\angle ABD\) mit den Schenkeln \(BA\) und \(BD\) ist gleich dem Winkel \(\alpha\) (die Schenkel von \(\alpha\) und \(\angle ABD\) stehen paarweise senkrecht aufeinander). Daher haben wir \(AD = g \cdot \sin{\alpha}\), mit \(g\) als Gitterkonstante (rechts im Bild). Dies ist also der Gangunterschied vor dem Gitter.

Hinter dem Gitter hat Strahl 2 einen größeren Weg zurückzulegen. Der Gangunterschied ist gleich der Strecke \(BC\) ( grün markiert ). Der Winkel \(\angle BDC\) mit den Schenkeln \(DB\) und \(DC\) ist gleich dem Winkel \(\beta\) (die Schenkel von \(\beta\) und \(\angle BDC\) stehen ebenfalls paarweise senkrecht aufeinander). Daher haben wir \(BC = g \cdot \sin{\beta}\) , mit \(g\) als Gitterkonstante. Dies ist also der Gangunterschied hinter dem Gitter.

Da zunächst Strahl 1 einen größeren Weg zurücklegt, dann jedoch Strahl 2, ergibt sich der gesamte Gangunterschied aus der Differenz \(BC - AD = g \cdot ( \sin{\beta} - \sin{\alpha})\). Beugungsmaxima treten dort auf, wo der Gangunterschied ein Vielfaches der Wellenlänge, also \(m \cdot \lambda\) beträgt (\(m = 1, 2, \ldots\)). Daher treten Beugungsmaxima für folgende Winkel und Wellenlängen auf:

\[ g \cdot \left( \sin{\beta} - \sin{\alpha} \right) = m \cdot \lambda \]


Interferenzmaxima beim Doppelspaltexperiment

Beim Doppelspaltexperiment berechnet sich der Gangunterschied ( rot markiert ) zu \(b \cdot \sin{(\alpha_m)}\), wobei \(\alpha_m\) der Winkel ist, unter dem das \(m\)-te Beugungsmaximum auftritt. Es ist wieder ausschlaggebend, dass beide in der Abbildung mit \(\alpha_m\) gekennzeichneten Winkel gleich groß sind (da die Schenkel paarweise senkrecht aufeinander stehen). Beugungsmaxima treten dort auf, wo der Gangunterschied ein Vielfaches der Wellenlänge, also \(m \cdot \lambda\) beträgt (\(m = 1, 2, \ldots\)). Daher treten Beugungsmaxima für folgende Winkel und Wellenlängen auf:

\[ b \cdot \sin{(\alpha_m)} = m \cdot \lambda \]


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