Physik 2, Übung 4

Hintergrund zur Aufgabe 1: Kraft zwischen stromdurchflossenen Leitern

Nicht unbedingt zur Lösung der Aufgabe notwendig! Wer nur die Aufgabe lösen will, kann den ganzen Absatz überspringen.

Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters

Jede bewegte Ladung erzeugt ein Magnetfeld. Die Magnetfelder der sich in einem Leiter bewegenden Ladungen (z. B. Elektronen) überlagern sich, so dass um einen Leiter ein ringförmiges Magnetfeld entsteht:

Die Richtung der Magnetfeldlinien wird durch die Rechte-Faust-Regel bestimmt: Wird der Leiter mit der rechten Hand so umfasst, dass der Daumen vom Pluspol zum Minuspol (= technische Stromrichtung) zeigt, dann zeigen die gekrümmten Finger in Richtung des kreisförmigen Magnetfeldes.

Bemerkung: Die technische Stromrichtung verläuft von Plus nach Minus, Elektronen bewegen sich also entgegen der technischen Stromrichtung.

Wir sollten beachten, dass zur Beschreibung der Stärke des Magnetfeldes sowohl die magnetische Feldstärke \(\vec{H}\) als auch die magnetische Flussdichte \(\vec{B}\) herangezogen werden können. Diese sind durch die Beziehung

\[ \vec{B} = \mu_r \cdot \mu_0 \cdot \vec{H} \] verknüpft. Hier ist \(\mu_0\) die magnetische Feldkonstante mit der Größe

\[ \mu_0 \approx 1.257 \cdot 10^{-6} \; N/A^2 \]

Die Permeabilitätszahl \(\mu_r\) ist nur wichtig, wenn sich das Magnetfeld in Materialien ausbreitet, die das Magnetfeld beeinflussen. Die Permeabilitätszahlen für einige Materialien sind in dieser Tabelle gelistet. Für das Vakuum (und in sehr guter Näherung auch für Luft) gilt \(\mu_r = 1\).

Das Produkt \(\mu_r \cdot \mu_0\) wird auch oft zu einer einzigen Konstante \(\mu\) (Permeabilität) zusammengefasst:

\[ \mu = \mu_r \cdot \mu_0 \]

Einheiten: Die Einheit der magnetischen Feldstärke \(\vec{H}\) ist \(A/m\), die Einheit der magnetischen Flussdichte \(\vec{B}\) ist Tesla: \(T = \frac{kg}{A \cdot s^2} = \frac{V \cdot s}{m^2}\).

Eine komplette Beschreibung der elektromagnetischen Phänomene liefern die Maxwellschen Gleichungen. Diese liefern auch die folgenden Beziehungen:

Die Stärke des Magnetfeldes (genauer: der Betrag des magnetischen Flusses) um einen stromdurchflossenen Leiter ist:

\[ B = \mu \cdot \frac{I_1}{2 \cdot \pi \cdot d} \]

Ringförmiges Magnetfeld um einen stromdurchflossenen Leiter

Hier ist \(d\) der Abstand vom stromdurchflossenen Leiter und \(I_1\) die Stromstärke (wir schreiben \(I_1\), da wir weiter unten noch den zweiten Leiter hinzufügen, der nicht unbedingt die gleiche Stromstärke haben muss). Die Richtung von \(\vec{B}\) ergibt sich aus der Rechten-Faust-Regel.

Wenn wir annehmen, dass sich der Leiter in Luft befindet, dann ist \(\mu_r \approx 1\) und wir können schreiben:

\[ B = \mu_0 \cdot \frac{I_1}{2 \cdot \pi \cdot d} \hspace{1.5cm} (1) \]

Wirkung des Feldes auf einen zweiten stromdurchflossenen Leiter

Wir nehmen nun an, dass sich ein zweiter stromdurchflossener Leiter im Einflussbereich des magnetischen Feldes des ersten Leiters befindet. Dann erfährt jeder Ladungsträger im zweiten Leiter die Lorentzkraft:

\[ \vec{F}_{Lor} = q \cdot ( \vec{v} \times \vec{B} ) \]

Hier ist \(\vec{B}\) der vom ersten Leiter erzeugte magnetische Fluss am Ort des zweiten Leiters, \(\vec{v}\) die Geschwindigkeit der Ladungsträger und \(q\) deren Ladung. Die Kraft auf alle Ladungsträger im zweiten Leiter summiert sich zu einer Gesamtkraft. Wenn im zweiten Leiter der Strom \(I_2\) fließt, können wir \(q \cdot \vec{v} = I_2 \cdot \vec{l}\) setzen, siehe Wikipedia, Abschnitt “Lorentzkraft am stromdurchflossenen Leiter”. (Dies lässt sich durch Einheitenvergleich erhärten: \(As \cdot m/s = A \cdot m\)). Damit erhalten wir für die Kraft auf den zweiten stromdurchflossenen Leiter:

\[ \vec{F}_{Lor} = I_2 \cdot ( \vec{l} \times \vec{B} ) \hspace{1.5cm} (2) \] Hier ist \(\vec{l}\) der den Leiter beschreibende Vektor, also ein Vektor, der in die Richtung des Leiters zeigt und dessen Länge gleich der Länge des Leiters ist.

Je nachdem, ob die Stromrichtung in beiden Leitern gleich oder verschieden ist, ziehen sich die Leiter an oder stoßen sich ab, wie in den Abbildungen dargestellt:

Anziehende Wirkung bei gleicher Bewegungsrichtung der Ladungsträger

Abstoßende Wirkung bei unterschiedlicher Bewegungsrichtung der Ladungsträger

Aufgabe 1: Kraft zwischen stromdurchflossenen Leitern

Aufgabe: Die beiden Drähte einer \(2.0 \;m\) langen Stromleitung haben einen Abstand von \(3.0 \; mm\) und führen einen Gleichstrom von \(8.0 \; A\). Berechne die zwischen diesen beiden Drähten wirkende Kraft.

Mit Formel (1) können wir den durch Leiter Eins verursachten magnetischen Fluss am Ort des zweiten Leiters berechnen. Der Abstand zwischen den Leitern ist \(d = 3 \cdot 10^{-3} \; m\). Wir berechnen den Betrag von \(\vec{B}\) im Abstand \(d\) und bekommen:

\[ B = \mu_0 \cdot \frac{I_1}{2 \cdot \pi \cdot d} = 1.257 \cdot 10^{-6} \; N/A^2 \cdot \frac{8 \; A}{2 \cdot \pi \cdot 3 \cdot 10^{-3} \; m} = 5.33 \cdot 10^{-4} \; T \]

Einheiten: Tesla: \(T = V \cdot s/m^2 = kg/(A \cdot s^2)\) und Newton: \(N = kg \cdot m/s^2\).

Der Betrag der Kraft auf den zweiten Leiter wird nun durch dieses magnetische Feld bestimmt und ist nach Formel (2):

\[ F_{Lor} = \mid \vec{F}_{Lor} \mid = I_2 \; \cdot \mid ( \vec{l} \times \vec{B} )\mid = I_2 \cdot l \cdot B \]

Hier ist \(I_2\) der Strom im zweiten Leiter.
Wir haben \(\mid\vec{l} \times \vec{B}\mid = l \cdot B\) gesetzt, da der Leiter und das Feld senkrecht aufeinander stehen (\(l\) ist der Betrag von \(\vec{l}\) und \(B\) ist der Betrag von \(\vec{B}\)).

Wir bekommen nun für den Betrag der Kraft auf den zweiten Leiter (mit \(I_2 = I_1 = 8 \; A\)):

\[ F_{Lor} = I_2 \cdot l \cdot B = 8 \; A \cdot 2 \; m \cdot 5.33 \cdot 10^{-4} \; T = 8.53 \cdot 10^{-3} \; N \] Einheiten: Tesla: \(T = V \cdot s/m^2 = kg/(A \cdot s^2)\) und Newton: \(N = kg \cdot m/s^2\).

Wir wissen nicht, ob die Ströme in beiden Leitern gleichgerichtet sind oder nicht und können daher nicht sagen, ob sie sich anziehen oder abstoßen.

Bemerkung: Natürlich ist es egal, welchen Leiter wir als Erzeuger des Feldes betrachten. Wir könnten ebenso gut den zweiten Leiter als Verursacher des Feldes betrachten und die Kraftwirkung auf den ersten berechnen. Wir müssen das gleiche Ergebnis erhalten, auch wenn die Ströme in beiden Leitern unterschiedliche Stärken haben. Dies schon allein deshalb, weil ja das 3. Newtonsche Gesetz gelten muss.

Wer es ganz kurz machen will, kann auch auch beide Formeln zusammenfassen und schreiben:

\[ F_{Lor} = I_2 \cdot l \cdot B = I_2 \cdot l \cdot \mu_0 \cdot \frac{I_1}{2 \cdot \pi \cdot r} = \mu_0 \cdot \frac{I_1 \cdot I_2 \cdot l}{2 \cdot \pi \cdot r} \] Dies gilt allerdings nur, wenn die Leiter parallel zueinander sind, so dass \(\vec{l} \perp \vec{B}\), ansonsten wird es komplizierter.

Aufgabe 2: Wirkung der Lorentzkraft auf stromdurchflossenen Leiter

Aufgabe: Ein Leiter hat die Koordinaten \(\vec{l} = ( 3 \; \vec{e}_x + 4 \; \vec{e}_y) \; cm\) und wird vom einem Strom der Stärke \(I= 2.7 \; A\) durchflossenen. Der Leiter befindet sich in einem homogenen Magnetfeld \(\vec{B} = 1.3 \; \vec{e}_x \; T\). Berechne die auf den Leiter wirkende Kraft \(\vec{F}\).

Es ist vielleicht bequemer, die Vektoren etwas umzuschreiben (wir rechnen gleich um: \(cm \hspace{0.1cm} \rightarrow \hspace{0.1cm} m\)):

\[ \vec{l} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot 10^{-2} \; m \hspace{0.7cm} \text{und} \hspace{0.7cm} \vec{B} = \begin{pmatrix} 1.3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \; T \]

Hintergrund: (nicht zur Lösung der Aufgabe notwendig):

Die Kraftwirkung auf den Leiter kommt dadurch zustande, dass auf jeden durch den Leiter fließenden Ladungsträger die Lorentzkraft \(\vec{F}_{Lor}\) wirkt:

\[ \vec{F}_{Lor} = q \cdot ( \vec{v} \times \vec{B} ) \]

Die Lorentzkraft steht also senkrecht auf der durch \(\vec{v}\) festgelegten Bewegungsrichtung und dem Magnetfeld \(\vec{B}\) (also senkrecht auf der Bildschirmebene, siehe Skizze).

Wir können \(q \cdot \vec{v} = I \cdot \vec{l}\) setzen, siehe hier, Abschnitt “Lorentzkraft am stromdurchflossenen Leiter”. (Dies lässt sich durch Einheitenvergleich erhärten: \(As \cdot m/s = A \cdot m\)). Damit erhalten wir für die Kraft auf den stromdurchflossenen Leiter:

\[ \vec{F}_{Lor} = I \cdot ( \vec{l} \times \vec{B} ) \]

Lösungsvariante 1

Wir berechnen das Kreuzprodukt:

\[ \vec{l} \times \vec{B} = \begin{pmatrix} l_y \cdot B_z - l_z \cdot B_y \\ l_z \cdot B_x - l_x \cdot B_z \\ l_x \cdot B_y - l_y \cdot B_x \end{pmatrix} \; T \cdot 10^{-2} \; m = \begin{pmatrix} 4 \cdot 0 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 1.3 - 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 - 4 \cdot 1.3 \end{pmatrix} \; T \cdot 10^{-2} \; m = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ - 5.2 \end{pmatrix} \; T \cdot 10^{-2} \; m \]

Ungleich Null ist nur die \(z\)-Komponente mit dem Wert \(- 5.2 \cdot 10^{-2} \; T \cdot m\). Der Strom \(I\) ist ein Skalar.

Damit hat auch die Kraft auf den Leiter nur eine \(z\)-Komponente mit dem Wert:

\[ F_z = - 2.7 \; A \cdot 5.2 \cdot 10^{-2} \; T \cdot m = - 0.14 \cdot A \cdot T \cdot m = - 0.14 \cdot N \]

Einheiten: \(T = V \cdot s/m^2 = kg/(A \cdot s^2)\) und \(N = kg \cdot m/s^2\).

Richtung der Kraft

Die Lorentzkraft geht, wie oben schon festgestellt, in Richtung der \(z\)-Achse. In der Skizze nach oben oder nach unten?:

Die Regel für das Kreuzprodukt lautet:

Ein Drehen des ersten Vektors (hier \(\vec{l}\)) auf dem kürzesten Weg zu dem zweiten Vektor (hier \(\vec{B}\)) ergibt eine Rechtsschraube. Wenn ich \(\vec{l}\) auf \(\vec{B}\) drehe, drehe ich rechts herum (im Uhrzeigersinn), ich drehe also die Schraube in den Bildschirm hinein. Der Leiter wird also in den Bildschirm hinein abgelenkt. Manch einer findet vielleicht auch die Rechte-Hand-Regel bequemer, um die Richtung zu bestimmen.

Lösungsvariante 2

Wer die Berechnung des Kreuzproduktes umgehen will - wer kann sich schon die Formel merken? - kann auch nur mit dem Betrag der Kraft rechnen, denn wir wissen ja, in welche Richtung diese wirkt. Der Betrag der Kraft auf den Leiter ist:

\[ \mid \vec{F}_{Lor} \mid = I \cdot \mid ( \vec{l} \times \vec{B} ) \mid \]

Wir brauchen nun \(\mid ( \vec{l} \times \vec{B} ) \mid\), also den Betrag des Kreuzproduktes. Dieser ist:

\[ \mid ( \vec{l} \times \vec{B} ) \mid = \mid\vec{l}\mid \cdot \mid\vec{B}\mid \cdot \sin{\alpha} \] wobei \(\alpha\) der Winkel zwischen den Vektoren \(\vec{l}\) und \(\vec{B}\) ist. Wir bekommen für die Beträge der Vektoren \(\vec{l}\) und \(\vec{B}\):

\[ \mid\vec{l}\mid = \sqrt{3^2 + 4^2} \cdot 10^{-2} m = 5 \cdot 10^{-2} \;m \] und

\[ \mid\vec{B}\mid = 1.3 \; T \]

Um den Winkel zwischen diesen Vektoren zu berechnen, benutzen wir das Skalarprodukt \(\vec{l} \cdot \vec{B}\):

\[ \cos{\alpha} = \frac{\vec{l} \cdot \vec{B}}{\mid\vec{l}\mid \cdot \mid\vec{B}\mid} = \frac{3.9 \cdot 10^{-2} \;m \cdot T}{ 5 \cdot 10^{-2} \;m \cdot 1.3 \; T} = \frac{3}{5} \] Damit ist \(\alpha \approx 0.927\).

Wir können nun den Betrag der Kraft berechnen:

\[ \mid \vec{F}_{Lor} \mid = I \cdot \mid\vec{l}\mid \cdot \mid\vec{B}\mid \cdot \sin{\alpha} = 2.7 \; A \cdot 5 \cdot 10^{-2} \; m \cdot 1.3 \;T \cdot \sin{0.927} = 2.7 \; A \cdot 5 \cdot 10^{-2} \; m \cdot 1.3 \;T \cdot 0.8 = 0.1404 \; N \]

Einheiten: Tesla: \(T = kg/(A \cdot s^2)\) und \(N = kg \cdot m/s^2\).

Wir haben also das gleiche Ergebnis wie oben.

Aufgabe 3: Vergleich von elektrischen und magnetischen Feldlinien

Aufgabe: Vergleiche elektrische und magnetische Feldlinien. Erläutere Gemeinsamkeiten und Unterschiede.

Während es voneinander getrennte positive und negative elektrische Ladungen gibt, gibt es keine seperaten Nord- und Südpole. Magnetfelder entstehen stets durch bewegte elektrische Ladungen. Es gibt keine magnetischen Monopole. Auch die Magnetfelder von Permanentmagneten werden durch Ladungsbewegungen erzeugt.

Schneidet man einen Dauermagneten durch, etwa um Nord- und Südpol zu trennen, erhält man wieder zwei Magnete, die jeweils einen eigenen Nord- und eine Südpol haben:

Aus dieser Tatsache ergeben sich eine ganze Reihe von Unterschieden zwischen elektrischen und magnetischen Feldlinien.

Elektrische Feldlinien beginnen bei einem positiv geladenen Körper und enden auf einem negativ geladenen Körper. Elektrische Feldlinien müssen daher nicht geschlossen sein. Sie können, von einem geladenen Körper ausgehend, linear in alle Raumrichtungen verlaufen:

Source: https://de.wikipedia.org/wiki/Elektrisches_Feld

Elektrische Felder können durch bewegliche Ladungen abgeschirmt werden, siehe Faradayscher Käfig.

Magnetische Feldlinien sind immer in sich geschlossen, haben also keinen Anfang und kein Ende. Im Gegensatz zu elektrischen Feldlinien können sich magnetische Feldlinien nicht schneiden.

Aufgabe 4: Magnetfeld einer Spule

Aufgabe: Eine dünne, \(10 \; cm\) lange Spule, die für schnelle elektromechanische Umschaltungen verwendet wird, hat insgesamt \(400\) Drahtwindungen und führt einen Strom von \(2.0 A\). Berechne das Feld im Inneren der Spule in der Nähe des Zentrums.

Der Betrag des magnetischen Flusses innerhalb einer Spule der Länge \(l\) mit \(n\) Windungen beträgt:

\[ B = \mu_0 \cdot \frac{I \cdot n}{l} \hspace{1.5cm} (3) \]

Hier ist \(I\) die Stromstärke in der Spule.

Wir brauchen bloß die gegebenen Werte einsetzen:

\[ B = \mu_0 \cdot \frac{I \cdot n}{l} = 1.257 \cdot 10^{-6} \; N/A^2 \cdot \frac{2 \; A \cdot 400}{0.1 \; m} \approx 10^{-2} \; T \]

Einheiten: Tesla: \(T = \frac{kg}{A \cdot s^2} = \frac{V \cdot s}{m^2}\) und Newton: \(N = kg \cdot m/s^2\).

Bemerkung: kleines \(n\) = Anzahl der Windungen, großes \(N\) = Einheit Newton!

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